漢米頓-雅可比方程（Hamilton-Jacobi equation）
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漢米頓-雅可比方程是把力學、光學與最優控制綁在一起的宏大完全非線性一階偏微分方程。在一種常見形式中它寫作 u_t + H(x, grad u) = 0，其中 u 是未知函數（一個作用量、一段行進時間、一個剩餘代價），而 H——稱為漢米頓量——是位置與 u 的梯度的一個給定函數。它是非線性的，因為 H 通常以彎曲的方式依賴 grad u——平方、平方根、上確界。
它由特徵線法最豐富的形式求解：特徵帶，在這裡恰是底層系統的射線或軌跡。沿每條帶，位置與梯度依漢米頓正則方程演化，dx/ds = H_p 與 dp/ds = -H_x（p 代表 grad u），而 u 的值沿途累積。所以解偏微分方程實際上就是沿軌跡運行古典力學：這就是漢米頓與雅可比的偉大洞見——一條棘手的一階偏微分方程與一組常微分方程（漢米頓方程）是同一理論的兩個面貌。在幾何光學中，同一方程的不含時形式 H(x, grad u) = 1 就是程函方程，其射線就是光線。
正如 Burgers 方程，漢米頓-雅可比方程的光滑解會崩潰：特徵線（射線）相交，梯度變成多值，角點與折痕形成（想想光線聚焦之處——焦散，或繞過障礙的最短路徑相撞之處）。越過那次崩潰，正確的解概念是黏性解，這個現代框架為這些完全非線性方程恢復了存在唯一性，並透過漢米頓-雅可比-貝爾曼方程支撐著最優控制。
穿越一塊速度變化的區域所需的最短行進時間，滿足程函型的漢米頓-雅可比方程；其特徵帶就是最優路徑（射線），而當兩族最短路徑相遇之處，解 u（抵達時間）便發展出一個折痕——波前的尖點，或斜率上的震波。
解漢米頓-雅可比方程就是沿射線運行漢米頓常微分方程；射線相交之處，梯度成為折痕。
漢米頓-雅可比方程的解通常只是 Lipschitz 的、並不光滑——折痕是正常的、非病態的。越過折痕的正確延續是黏性解，它（不像光禿的弱解）是唯一的；特徵帶法只在首次射線相交之前給出正確答案。