完全積分（complete integral）
一階常微分方程有一個帶一個任意常數的通解；選定常數，你就選定一條特定曲線。兩個變數的一階偏微分方程更為豐富，而捕捉其解最古老的方法之一，就是完全積分：u 的單一公式，含兩個任意常數，足夠的參數能讓解曲面在兩個獨立方向上彎曲。
具體地說，F(x, y, u, u_x, u_y) = 0 的完全積分是一族 u = phi(x, y, a, b)，依賴於兩個參數 a 與 b，其中每一員都滿足方程，且確實是雙參數的（它給出的曲面並非都是同一形狀的平移）。驚奇之處在於，這個雙參數族不只是一堆特殊解——它是一個生成集。把 b 取為 a 的函數 b = g(a)，再構造所得單參數族的包絡（在 u = phi(x,y,a,g(a)) 與導數條件 phi_a + phi_b g'(a) = 0 之間消去 a），你便掃出新的解，包括圍繞任意資料建構的所謂通積分。整個雙參數族的包絡則給出又一個，奇積分。
這是古典的 Charpit-Jacobi 理論，雖然現代的特徵線法大致取代了它，完全積分仍是看清一階偏微分方程有多少自由度的最乾淨方式：兩個常數，再經包絡把它們提升為一個任意函數——這正是偏微分方程的解集由函數（而非僅由數）參數化的標誌。它也是漢米頓-雅可比理論把一個完全積分轉化為一個力學問題完整解的途徑。
程函方程 u_x^2 + u_y^2 = 1 有完全積分 u = a x + sqrt(1 - a^2) y + b，一個由傾斜平面組成的雙參數族（每個都是平的波前）。取這些平面子族的包絡，可建出彎曲的解，例如圓錐 u = sqrt(x^2 + y^2)，即到一點的距離。
兩個常數給出一族平坦的解；它們的包絡把那兩個常數提升為一個任意函數。
完全積分不是最一般的解：它只有兩個常數，而一階偏微分方程的完整解集涉及一個任意函數。兩者的橋梁是包絡運算，它把一個離散參數換成一個函數參數——沒有它，兩個常數會嚴重低估解的數量。