黏性解（viscosity solution）

有些重要的非線性偏微分方程根本沒有平滑解——其自然的解會在某些不可微之處長出尖角，故「代入並檢驗」失效。漢米頓-雅可比方程與最佳控制的方程正是如此。我們需要一種容許尖角、卻仍能挑出單一正確答案的「解」的概念。黏性解就是這個概念：一個精巧的弱定義，為全非線性的一階與二階方程量身打造，即使古典導數不存在，也能給出存在性「與」唯一性。

這個想法巧妙得令人卸下心防。要在從不對 u 微分的情況下定義 F(x, u, grad u) = 0 的解，你用接觸它的平滑函數來測試它。設某平滑函數 phi 在某點 x_0 從上方接觸 u（在附近 phi >= u，在 x_0 處相等）；那麼，在 u 的圖形從平滑罩子底下探出的地方，要求 F(x_0, u, grad phi) <= 0。對稱地，每當某平滑 phi 從下方接觸 u 時，要求 F(x_0, u, grad phi) >= 0。處處同時滿足這兩個單邊測試的函數，就是黏性解。其精妙在於：在 u 的某個尖角處，平滑函數只能從一側接觸，故那裡只有一個不等式適用——而正是這種不對稱性，恰好選出了物理上正確的那種尖角（比方說，允許「向下的尖角」、禁止「向上的尖角」）。這名字來自證成它的一種方式：加上一個微小的黏性項，求解平滑方程 F = epsilon Laplacian u，再讓 epsilon 趨於 0——黏性解就是這個極限，也就是「消失黏性」的答案。

為什麼它是正確的概念？因為它附帶一個「比較原理」：若一個黏性次解在邊界上位於某黏性超解之下，它就處處位於其下，這立刻給出「唯一性」。這正是決定性的優勢——許多弱形式容許無窮多個解，但黏性框架恰好釘住一個，且與方程背後控制問題的值函數相吻合。它如今是漢米頓-雅可比、漢米頓-雅可比-貝爾曼、eikonal 方程，以及許多全非線性橢圓方程的標準解概念。誠實的提醒：它是一階與「退化橢圓」方程的正確概念，並非萬靈丹——對散度形式的問題，自然的反而是弱（索伯列夫）形式。