eikonal 方程（eikonal equation，程函方程）
/ eye-KON-al /
往池塘丟一顆石子，看著那圈漣漪擴張。或想像一場草原野火從一根火柴向外蔓延，或燈泡的光向外散開。在每一種情形裡都有一道前緣向外移動，而有個自然的問題：在每一點，前緣何時到達？那個到達時間函數，以及作為其等位集的前緣，正由 eikonal 方程支配——它是前緣傳播的主方程，也是一切波動現象的短波長極限。
方程是 |grad u| = 1，或更一般地 |grad u(x)| = 1/c(x)，其中 u(x) 是前緣到達點 x 的時間，c(x) 是局部的傳播速度。從幾何上讀它：u 的梯度指向前緣行進的方向，而其大小為 1/c 表示前緣以速度 c 推進。等位集 {u = 常數} 是前緣的逐次位置（波前），而與它們正交的曲線——沿之 u 增加最快——是射線。所以求解 eikonal 方程，正是找出傳播時間與射線路徑。|grad u| = 1、配在某集合 S 上 u = 0 的乾淨解，是 u(x) = 從 x 到 S 的距離：到達時間就是（以速度加權的）最短距離，而你藉由從 S 直直送出特徵線（射線）來建構它。這是一個非線性、全非線性的一階偏微分方程，也是惠更斯式前緣建構與黏性解的標準範例。
為什麼重要？eikonal 方程是從波動光學通往幾何光學的橋樑——波動方程或亥姆霍茲方程的高頻極限，是光「沿直線射線行進」的原因，也是透鏡的設計之道。它支配地震波傳播時間的計算、機器人路徑規劃，以及影像處理中所用的快速「距離變換」（fast marching 與 fast sweeping 方法能有效率地求解它）。誠實的微妙之處、也是貫穿整個領域的反覆主題：平滑解在射線交會或前緣碰撞之處崩潰（想想兩圈漣漪相遇所成的尖脊，或到達時間中的一道震波），故正確的整體解是「黏性解」，它選出正確的首次到達時間與有物理意義的尖角。
求解 |grad u| = 1、配在單一點（源）上 u = 0。解是 u(x) = |x|，即到源的距離，其等位集是擴張的圓（波前），其射線是從該點直直向外的徑向線——正是石子落下、漣漪擴散的圖像。在兩個源的波前相遇之處，u 有一道脊，而黏性解保留較早的到達。
前緣的到達時間：其等位集是波前，梯度方向是射線。
eikonal 方程的古典（平滑）解，一般在射線交會或前緣碰撞之處失效——到達時間函數會長出尖角。正確的整體解是黏性解，它挑出真正的首次到達時間；處處平滑的解通常並不存在。