亥姆霍茲方程（Helmholtz equation）
/ HELM-holts /
純粹的樂音、單一頻率的雷達束、單色的陽光、音叉穩定的嗡鳴——這些都是以單一固定頻率振盪的波。若你把時間從波動方程中剝除，只保留單一頻率下的空間花樣，便得到亥姆霍茲方程。它是聲學、光學與散射的主力——凡有確定頻率之波存在之處皆然。
從波動方程 u_tt = c^2 Laplacian u 出發，尋找單頻（時間諧和）解 u(x, t) = U(x) e^(-i omega t)。代入：時間導數拉下一個 -omega^2，消去時間因子後剩下 Laplacian U + k^2 U = 0，其中 k = omega / c 是波數。這就是亥姆霍茲方程。它正是波動方程在固定頻率後所變成的樣子——一個穩態的、特徵值式的方程。注意 k^2 U 前面的加號：正是這一個符號，把振盪的、波動式的亥姆霍茲方程，與平滑、衰減的拉普拉斯／帕松族（Laplacian U = 0）區分開來。加號意味著解會擺動並可能共振；這方程在型別上是橢圓型，卻支持傳播的、振盪的解。
亥姆霍茲方程支配著聲音如何繞射過障礙物、光如何被一顆粒子散射、天線如何輻射，以及音樂廳如何共鳴；帶源項時 Laplacian U + k^2 U = -f，即非齊次亥姆霍茲／散射方程。它誠實的困難之處：在高頻（k 很大）時數值上極為棘手——解在 1/k 的尺度上振盪，因此每個波長需要許多網格點，而所得的線性系統是不定的，抵抗那些馴服了拉普拉斯方程的快速求解器。高頻散射至今仍是活躍的計算前沿。
一端封閉、長度 L 的管風琴管，在某些頻率共鳴，這些頻率使空間花樣 U(x) 滿足 U_xx + k^2 U = 0 並符合管的邊界條件，給出離散的允許 k（與音高）。這就是作為特徵值問題的亥姆霍茲方程——正是分離變數把時間從波動方程中分出時所產生的同一個空間特徵值問題。
在單一頻率下把時間剝除的波動方程：Laplacian U + k^2 U = 0。
Laplacian U + k^2 U = 0 中的加號至關重要：把它改成減號（Laplacian U - k^2 U = 0，即修正亥姆霍茲／遮蔽帕松方程），擺動、共振的解便變成平滑、指數衰減的解。決定物理的不只是算子，還有那個符號。