哈爾測度（Haar measure）
/ HAAR (Alfréd Haar) /
要對群求平均——對函數對稱化、投影到不變子空間、或定義任何對稱都無法擾動的內積——你需要群上一種「體積」概念，使群自身的平移不改變它。在圓上那就是弧長，旋轉不影響它。哈爾測度是「這種不變體積在本質上每個群上都存在」的存在唯一性定理，使「對群求平均」成為嚴格的運算。
在局部緊（豪斯多夫）拓樸群 G 上，存在非零拉東測度 mu，它左不變：對每個 g 與每個可測集 E 有 mu(gE) = mu(E)（等價於 integral of f(g x) dmu(x) = integral of f(x) dmu(x)）。此左哈爾測度在正純量倍數下唯一。對稱地有右哈爾測度。兩者未必一致；其差異由模函數 Delta: G -> (0, infinity) 記錄，這是滿足 mu_right = Delta * mu_left 的同態。當 Delta = 1，即左右哈爾測度一致時（給出真正雙不變的測度），群稱為么模的。所有緊群、所有阿貝爾群、所有半單李群都是么模的；仿射「ax + b」群是經典的非么模例子。在李群上，哈爾測度具體即「把 g 的頂層外冪中任一固定非零元素（馬尤勒-卡坦標架）左平移」所得的體積形式，亦即左不變的最高次微分形式。
哈爾測度是不可或缺的平均工具：它正是讓你能對表示求平均使之么正（從而證明緊群完全可約）、構造不變內積、定義特徵標與傅立葉／普朗克雷爾理論、並在彼得-外爾定理中對 G 積分的東西。對緊群會把總質量正規化為 1，把平均變成群上的機率「期望」。兩個誠實要點：存在性是對「局部緊」群（對無窮維群構造失效，那裡通常不存在平移不變測度），且左右不變僅對么模群一致——故「那個」哈爾測度唯有在群么模時才雙不變。
緊群 G 上的平均技巧：給定向量空間上配某內積 <.,.>_0 的表示，用正規化哈爾測度定義 <u, v> = integral over G of <g.u, g.v>_0 dmu(g)。mu 的左不變使 <.,.> 為 G-不變，故緊群的每個有限維表示都么正——這迫使完全可約（不變子空間的正交補仍不變）。
用哈爾測度對內積求平均，使任何緊群表示成為么正。
左右哈爾測度僅對么模群一致（模函數 Delta = 1）；仿射 ax+b 群非么模。存在性需要局部緊——無窮維群一般無不變測度。