彼得-外爾定理（Peter-Weyl theorem）
/ PAY-ter VILE /
傅立葉分析說：任何合理的週期函數都是純波 e^(i n theta) 之和。彼得-外爾定理是其宏大推廣：對任何緊群，「純波」是其不可約表示的矩陣元素，而群上每個平方可積函數都由它們構成。它是脫離圓的調和分析，是從群表示通往群上函數論的橋樑。
設 G 為配有正規化哈爾測度的緊（豪斯多夫、拓樸）群。彼得-外爾定理有三條交織的結論。(1) 稠密性：有限維不可約么正表示的矩陣係數，張成連續函數 C(G)（一致範數）與 L^2(G) 的稠密子空間。(2) L^2 分解：作為 G x G 經左右平移作用的表示，L^2(G) 分解為對各不可約 pi（每個出現的重數等於其維數）的希爾伯特空間直和：L^2(G) ~ (對各 pi 求直和) of (V_pi tensor V_pi^*)，其中 V_pi 是有限維不可約表示空間。(3) 完全可約／有限維：緊群的每個不可約么正表示都是有限維的，且每個么正表示都分解為不可約者。使用訣竅：把函數對某矩陣係數積分（一個「廣義傅立葉係數」），即可萃取它在各不可約表示中的分量，恰如在圓上萃取傅立葉係數。
彼得-外爾是緊群表示論、特徵標理論（特徵標 chi_pi = pi 的跡，構成類函數的標準正交基）與緊對稱空間上拉普拉斯算子譜論的基礎。對圓 G = U(1)，它恰退化為古典傅立葉級數，不可約者即特徵標 theta |-> e^(i n theta)。誠實提醒：此定理確實需要「緊性」。對非緊群（如勞侖茲群或 SL(2, R)），不可約么正表示通常無窮維，整個 L^2 沒有有限重數的離散分解，需要遠為艱深、帶連續譜的普朗克雷爾理論。緊性——經由哈爾測度提供的平均——正是迫使有限維與乾淨分解的關鍵。
對 G = U(1) ~ S^1，不可約么正表示是一維特徵標 chi_n(theta) = e^(i n theta)，n in Z。彼得-外爾說這些張成 L^2(S^1) 的稠密子空間，並給出正交分解 L^2(S^1) = (對 n in Z 求直和) of C e^(i n theta)——這正是古典傅立葉級數理論。
在 U(1) 上，彼得-外爾「就是」傅立葉級數理論；特徵標 e^(in theta) 即不可約者。
彼得-外爾需要緊性。對非緊群，不可約么正表示一般無窮維，且 L^2 有連續譜；乾淨的有限重數分解失效。