卡坦子代數與根（Cartan subalgebra and roots）
/ kar-TAHN (Élie Cartan) /
要理解一個複雜的對稱代數，先找出彼此全部交換的最大一群對稱——它們可同時對角化，如同選定座標軸。然後觀察其餘一切如何與它們不可交換：這些「不可交換」的模式是稱為根的離散「方向」，並以向量與角度的有限圖像編碼整個代數。這個分解把李代數的柔性問題，化為根系的剛性組合學。
對複半單李代數 g，卡坦子代數 h 是一個極大阿貝爾子代數，其元素（經由 ad 作用於 g 時）可對角化；其維數即 g 的秩。由於 h 中 H 的算子 ad(H) 彼此交換且可對角化，它們共享特徵空間，給出根空間分解 g = h (+) (對各根 alpha 求和的 g_alpha)，其中對非零線性泛函 alpha in h^*，根空間 g_alpha = {X in g : 對所有 H in h 有 [H, X] = alpha(H) X}，是一個（通常一維的）共同特徵空間。真正出現的非零 alpha 即根，是 h^* 中構成根系的有限集：它對稱（alpha 是根則 -alpha 是根），且在由根生成的反射（外爾群）下封閉。對 sl(n+1)，根為 e_i - e_j（A_n 系統）；根之間的角度與長度，記錄於鄧肯圖，在同構意義下決定 g。根向量的括號滿足 [g_alpha, g_beta] subset g_(alpha+beta)，故根系是該代數完整的加法表。
卡坦子代數與根是半單李代數及其表示分類的引擎（權是任何表示的類比特徵值，不只是伴隨表示）。在緊群中，卡坦子代數的 exp 是極大環面，表示的特徵標限制其上。兩個誠實要點。其一，這套乾淨理論適用於特徵零代數閉域上的半單（或約化）代數；在 R 上圖像分裂為各種實型，更為微妙。其二，給定 g 的所有卡坦子代數彼此共軛，故秩與根系良定義，但卡坦子代數並不典範——你選定一個，正如選定座標軸。
在 sl(2, C) 中，取卡坦子代數 h = span{H}，其中 H = diag(1, -1)（秩 1）。則 [H, E] = 2E 與 [H, F] = -2F，故 E 張成根 alpha（alpha(H) = 2）的根空間，F 張成 -alpha 的根空間。根系為直線 h^* 上的 {+2, -2}——最小的根系 A_1。
sl(2,C)：一個卡坦生成元 H 與兩個根 +-2——秩 1 的根系 A_1。
乾淨的根空間理論適用於特徵 0 代數閉域上的半單（約化）代數。在 R 上必須轉到實型。所有卡坦子代數彼此共軛（秩良定義），但沒有單一個是典範的。