圖拉普拉斯矩陣

圖拉普拉斯矩陣把網路的結構變成一個矩陣，其譜能讀出網路有多連通，以及它傾向於如何被切開。它是微積分中拉普拉斯算子的離散表親，衡量一個節點上的值與其鄰居相差多少。

定義為 L = D - A，其中 A 是鄰接矩陣，D 是對角度數矩陣（D_ii 是節點 i 的邊數）。L 對稱且半正定，並有一個優美的二次型恆等式：x^T L x = 對所有邊 (i,j) 求和 (x_i - x_j)^2。故 L 衡量一種標號在所有邊上的總平方差異。

它的特徵值 0 = lambda_1 <= lambda_2 <= ... <= lambda_n 意義深遠。最小特徵值恆為 0，對應全一特徵向量，而零特徵值的個數等於連通分量的個數。第二個特徵值 lambda_2（代數連通度）恰在圖連通時為正。

為何重要：拉普拉斯矩陣驅動譜聚類、圖繪製、網格平滑，以及網路上擴散與隨機遊走的分析。一個警示：樸素的 L 有度數偏置，故做聚類時常用歸一化版本（對稱型或隨機遊走型），以防高度數的樞紐節點主導。