德拉姆上同調（de Rham cohomology）
/ duh-RAHM /
德拉姆上同調是一種只用微積分來數光滑流形的洞的方法——不用三角剖分、不用組合學，只用微分形式與算子 d。它的口號是：閉而不恰當的形式偵測洞：一個導數為零卻又不是任何導數的形式，正在登記流形所擁有的某種整體特徵。第 k 個德拉姆上同調以精確的意義量度了獨立的 k 維洞。
精確地說，在光滑流形 M 上，德拉姆複形是由外微分 d 連起的空間鏈 Omega^0(M) -> Omega^1(M) -> Omega^2(M) -> ...，且 d^2 = 0。第 k 個德拉姆上同調是商 H^k_dR(M) = (閉 k-形式) / (恰當 k-形式) = ker(d 在 Omega^k 上) / image(d 在 Omega^{k-1} 上)。因為恰當形式是閉的（d^2 = 0），這個商有意義，且兩個閉形式若相差一個恰當形式則上同調等價。這些是實向量空間；它們的維數是貝蒂數 b_k。楔積下降為上同調上的乘積，使 H*_dR(M) = 各 H^k_dR(M) 的直和成為一個分次交換環，即德拉姆上同調環。
它是一個強大的不變量：它具同倫不變性（同倫等價的流形有同構的德拉姆上同調），可用邁耶-菲托里斯序列計算，且憑藉斯托克斯定理透過積分與閉鏈配對。它的值編碼了連通性（b_0 數分量數）、迴圈與更高的洞。一個本質的誠實提醒：德拉姆上同調只計算實係數的上同調。它對撓元完全盲目——整係數上同調看得見的有限階現象（例如 RP^2 在整係數的 H_1 中有 2-撓元，但它在 1 次的德拉姆上同調只是 0）。永遠別說德拉姆「就是」上同調；它是實係數的影子，由德拉姆定理精確化。
對圓 S^1：H^0_dR = R（一個分量，即常值）而 H^1_dR = R，由閉而不恰當的角度形式 d theta 生成。故 b_0 = b_1 = 1——圓那唯一一個 1 維的洞。對 2 維球面 S^2：H^0 = R、H^1 = 0（沒有 1 維洞，單連通）、H^2 = R（面積形式，那個 2 維的空腔）。對 2 維環面 T^2：H^0 = R、H^1 = R^2（兩個獨立迴圈 d theta_1、d theta_2）、H^2 = R。
S^1、S^2、T^2 的德拉姆上同調讀出它們的洞；其維數就是貝蒂數。
德拉姆上同調是實係數的，看不見撓元——它與奇異上同調張量 R 一致，而非完整的整係數理論。所以它從不偵測克萊因瓶或 RP^2 的撓類；那些需要整係數的奇異或單純上同調（屬於另一個領域）。