邁耶-菲托里斯序列（Mayer-Vietoris sequence）
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邁耶-菲托里斯序列是計算上同調的分而治之工具。它的想法極其自然：若你能用兩塊較簡單、其上同調你已了解的開集去覆蓋一個複雜空間，那麼整體的上同調就被決定了——差一個關於兩塊如何重疊的精確記帳。它把一個整體計算化為關於兩個小塊及其交集的問題。
精確地說，設 M = U union V，其中 U、V 為開集。存在一個長正合序列，連起 M、分別的 U 與 V、以及它們的交集 U intersect V 的德拉姆上同調：... -> H^k_dR(M) -> H^k_dR(U) (+) H^k_dR(V) -> H^k_dR(U intersect V) -> H^{k+1}_dR(M) -> ... 進入中間項的映射是限制，下一個映射是限制之差，而把次數提升一的連接映射是用一個從屬於 {U, V} 的單位分解造出的。「正合」意指在每一處進入的映射的像等於離開的映射的核；正是這個正合性成為剛性的約束，從已知群釘住未知群。
它是本學科的計算主力：歸納地，人們把球面、環面、曲面與大多數流形切成可縮或更簡單的塊，再搖動曲柄來計算它們的上同調。例如，把 S^n 分成兩個重疊的帽（各自可縮，交集同倫等價於 S^{n-1}），給出產生 H^*(S^n) 的遞迴。一個實用的提醒：序列只約束群；要萃取出真正的答案需要理解那些映射（尤其是連接同態），而在更精細（如整係數）的理論中，光有正合性可能留下一個真正的擴張歧義——不過在實數上，向量空間會分裂，這使德拉姆版本特別乾淨。
用邁耶-菲托里斯計算 H^*(S^1)。用兩段開弧 U、V 覆蓋圓，各自可縮（故各在 0 次有上同調 R、更高次為零）。它們的交集 U intersect V 是兩段不相交的弧，H^0 = R^2。序列 0 -> H^0(S^1) -> R (+) R -> R^2 -> H^1(S^1) -> 0 經由正合性與維數計算，迫使 H^0(S^1) = R 與 H^1(S^1) = R。交集中那「多出來」的一維成為 H^1 中的迴圈類。
把 S^1 切成兩段弧並運行正合序列，還原出 H^0 = H^1 = R；同樣的歸納給出每個球面。
邁耶-菲托里斯是一個正合序列，不是一條公式：它把群聯繫起來，但你必須追蹤那些映射（尤其是提升次數的連接映射，它編碼了黏合）才能得出數字。同樣的機器存在於奇異同調及許多其他理論中——使它運作的是正合性，而非那些具體對象。