德拉姆定理（de Rham theorem）
/ duh-RAHM /
德拉姆定理是微積分與拓樸之間的橋樑。它說：你用微分形式與算子 d 解析地偵測到的洞，恰好就是你用閉鏈與三角剖分組合地偵測到的同一批洞。兩種看起來完全不同的量度流形形狀的方式——一個來自光滑分析、一個來自拓樸——給出相同的答案。這是幾何中最令人滿意的統一之一。
精確地說：對光滑流形 M，在光滑鏈上積分形式定義了一個從德拉姆上同調到實係數奇異上同調的自然映射，而德拉姆定理斷言此映射是同構：對每個 k，H^k_dR(M) 同構於 H^k(M; R)，而且此同構尊重環結構（左邊的楔積對應右邊的杯積）。這映射很具體：一個閉形式 omega 被送到「在每個光滑 k-閉鏈上積分 omega」的泛函；斯托克斯定理正是使這在上同調上有良好定義的關鍵（把 omega 改變一個恰當形式、或把閉鏈改變一個邊界，都使積分改變零）。「在閉鏈上積分閉形式」這個配對是陳述的核心，是週期配對的一個實例。
它的意義在於讓你能用分析（解 d omega = 0 並除以恰當形式）來計算一個拓樸不變量（奇異上同調），反過來也能把拓樸工具用到微分方程與幾何上。關鍵的提醒、也是最常見的錯誤是：這個同構只在實係數下成立。德拉姆上同調看不見撓元；H^k(M; Z) 可能有有限循環直和項（如 RP^2 或克萊因瓶），它們在張量 R 之後完全消失。所以德拉姆定理精確地等同了實的（無撓的）部分，對整係數的撓元則隻字未提。請把它陳述為 H^k_dR(M) 同構於 H^k(M; R)，絕不要寫成 H^k(M; Z)。
在環面 T^2 上，H^1 的德拉姆生成元是形式 d theta_1 與 d theta_2；奇異生成元是 pi_1 的兩個基底迴圈 a、b。德拉姆同構由週期矩陣實現：d theta_1 在 a 上積分 = 2 pi，d theta_2 在 a 上積分 = 0，d theta_1 在 b 上積分 = 0，d theta_2 在 b 上積分 = 2 pi。形式與迴圈之間這個非退化的配對，恰好就是同構 H^1_dR(T^2) 同構於 H^1(T^2; R)，兩者都是 R^2。
「在閉鏈上積分形式」這個週期配對是德拉姆同構的具體化；在 T^2 上它就是那個 2x2 的週期矩陣。
這個同構是與 H^k(M; R)，即實係數上同調——絕不是與整係數上同調。德拉姆理論在結構上就無法看見撓元，故它給出貝蒂數卻給不出更細的整係數不變量；要那些，你必須離開本領域，去找整係數的奇異或單純上同調。