龐加萊引理（Poincaré lemma）
/ pwan-kah-RAY /
龐加萊引理是口號「閉即局部恰當」的精確陳述。它說：若一個微分形式的外微分為零（它是閉的），則在任何夠小、形狀漂亮的小塊上，你總能找到一個形式，其導數正是它（在那裡它是恰當的）。上同調全部的微妙之處在於：「局部」一般無法升級為「整體」——但在局部上，從來不存在障礙。
精確地說：在一個可縮開集 U 上（例如任何球，或 R^n 中任何星形區域），每個 k >= 1 的閉 k-形式都恰當。等價地，當 U 可縮時，對 k >= 1 有德拉姆上同調 H^k_dR(U) = 0。證明是構造性的：人們造出一個明確的同倫算子 h，使得 omega = d(h omega) + h(d omega)；當 d omega = 0 時這給出 omega = d(h omega)，故 h omega 就是所求的原函數。算子 h 是沿收縮的徑向線積分，用內積組裝而成，正是 U 收縮到一點這件事在形式層面的影子。
這條引理是德拉姆理論的局部基礎：它保證閉形式唯一能偵測到的就是整體拓樸，因為在局部它總是恰當、因而不可見。正是它使德拉姆複形成為一個細解析（fine resolution），並驅動了與其他上同調理論的比較。一個謹慎的限制：引理在 0 次失效（閉的 0-形式是局部常值函數，只在平凡的意義下「恰當」），且關鍵地需要定義域可縮——在圓環或去心平面上，確實存在閉而不恰當的形式，而那個失效正是上同調誕生之處。
在 R^2 上（它可縮）每個閉的 1-形式都恰當。取 omega = (2xy + 1) dx + x^2 dy；驗證它是閉的：計算 partial_x(x^2) - partial_y(2xy + 1) = 2x - 2x = 0，故 d omega = 0。引理保證有一個位勢 f；積分得 f = x^2 y + x 可行，確實 df = (2xy + 1) dx + x^2 dy = omega。相對地，在 R^2 去掉原點上（不可縮），閉形式 d theta 沒有整體位勢——同樣的局部配方，但那個洞阻止了在整個空間上組裝出單一原函數。
在任何球上局部位勢總是存在；阻礙整體位勢的，恰好是一個洞所引入的拓樸。
引理是局部的（或關於可縮定義域）；它絕不是說閉整體蘊含恰當——相信那一點是此處最常見的單一錯誤。同一個形式 d theta 處處是閉的，卻只在形狀簡單的小塊上恰當，在完整的去心平面上絕不恰當。