高斯系綜 GOE、GUE、GSE（Gaussian ensembles）
/ GOE = gee-oh-EE; Wigner = VIG-ner /
高斯系綜是最對稱、最可精確求解的隨機矩陣——隨機矩陣理論中的氫原子。它們由 Wigner 與 Dyson 引入，用以建模重原子核的譜，這些核的能階複雜到無法計算，卻似乎服從普適的統計律。三個系綜 GOE、GUE、GSE 對應於量子系統可具有的三個古典對稱類（實、複、四元數），並由一個參數 beta = 1, 2, 4 標記，該參數衡量每個非對角元素的實自由度數目。
每個系綜由矩陣上一個不變的機率密度定義：其律的密度正比於 exp(-(beta/4) N trace(H^2))（採用慣用歸一化），這等同於說元素是獨立的高斯變數並施加對稱約束。GOE 由實對稱矩陣組成，在正交共軛 H -> O^T H O 下不變；GUE 由複 Hermite 矩陣組成，在么正共軛 H -> U^* H U 下不變；GSE 由四元數自對偶矩陣組成，在辛共軛下不變。由於密度只透過 trace(H^2) = sum of lambda_i^2 依賴於特徵值，人們可積掉特徵向量並明確寫出聯合特徵值密度：它正比於 (product over i<j of |lambda_i - lambda_j|^beta) 乘以 exp(-(beta/4) N sum lambda_i^2)。那個乘積因子 |lambda_i - lambda_j|^beta 是 Vandermonde 排斥，而指數 beta 恰恰是 1、2 或 4。
高斯系綜之所以重要，是因為它們可精確求解：尤其 GUE 具有行列式型特徵值相關（其核由 Hermite 多項式構成），這讓人能以閉形式計算體相正弦核、邊緣 Airy 核與 Tracy-Widom 律。它們是陳述普適性的參照點：本領域的深刻定理說，一個一般的 Wigner 矩陣具有與同對稱類對應的高斯系綜相同的局部特徵值統計。一個注意事項：三個系綜的特徵值密度在極限下都是同一條半圓；beta 依賴並不出現在體相密度，而是出現在能階排斥的強度以及精確的局部統計中。
對 GUE（beta = 2），人們可用 Hermite 多項式精確寫出體相特徵值相關。取譜中心附近的兩個特徵值：以小間隔 s（縮放單位）找到它們的機率正比於 1 - (sin(pi s)/(pi s))^2，當 s -> 0 時以 s^2 消失。那個乾淨的閉形式正是 GUE 著名的能階排斥，也正是真實核能階資料被發現所服從的規律。
GUE 的可精確求解性讓人能直接從閉形式公式讀出能階排斥。
GOE/GUE/GSE 在排斥指數 beta = 1, 2, 4 上不同，因而在精細局部統計上不同，但三者共享同一條極限半圓體相密度。切勿把對稱類（固定 beta）與體相律（在三者間皆普適）混為一談。