Wigner 半圓律（Wigner semicircle law）
/ Wigner = VIG-ner /
半圓律是隨機矩陣理論的中央極限定理——Wigner 矩陣體相特徵值密度的普適極限形狀。正如許多獨立純量之和經適當歸一化後不論被加項分布皆收斂到高斯，一個元素獨立的大對稱矩陣其特徵值直方圖不論元素分布皆收斂到單一固定曲線：半圓。它回答了本領域的奠基問題，由 Wigner 為核物理所提出：一個複雜量子系統能階的典型密度是什麼？
設 H_N 為歸一化使非對角元素變異數為 1/N 的 Wigner 矩陣。則當 N 趨於無窮，H_N 的經驗譜分布幾乎必然弱收斂到半圓分布，其密度為 rho(x) = (1/(2 pi)) sqrt(4 - x^2)，x 在 [-2, 2]，外部為零。rho 的圖形是半徑 2 之圓的上半（嚴格說是縮放為半圓的橢圓）——故得名。它的兩個 k 階動差頗具啟發性：x^2 rho(x) dx 的積分為 1（故 lambda_i^2 的平均與元素變異數相符，正如跡恆等式所要求），而偶數階動差是 Catalan 數 C_k = (1/(k+1)) binomial(2k, k)，它計數非交叉配對——使動差法證明奏效的組合學標記。等價地，它的 Stieltjes 變換 m(z) 滿足二次式 m(z) = 1/(-z - m(z))，給出 m(z) = (-z + sqrt(z^2 - 4))/2。
半圓律是普適的：它只依賴於元素變異數，而非元素分布的形狀（只要變異數有限且一個溫和的動差條件成立）。這就是為何它是 CLT 的隨機矩陣對應物。它在科學中的作用巨大——它支配大鄰接矩陣與哈密頓矩陣的特徵值密度，是自由機率的基礎（半圓元是高斯的自由對應），並提供與真實資料譜相比較的虛無譜。一個重要注意事項：半圓只描述體相。最大特徵值確實收斂到邊緣值 2，但其波動並非半圓型亦非高斯型——它們是 Tracy-Widom，發生在更精細的 N^(-2/3) 尺度上。半圓對邊緣保持沉默。
計算歸一化 Wigner 矩陣的四階動差：E[(1/N) trace(H_N^4)] -> x^4 對半圓的積分 = 2，即第二個 Catalan 數。依動差法，這個 2 恰恰計數把閉合走道的四步配對的兩種非交叉方式；唯一的交叉配對被因子 1/N 壓制並在極限中消失。組合學與曲線完美吻合。
半圓的偶數階動差是 Catalan 數——非交叉配對的計數。
半圓只支配體相且在元素分布上是普適的。它並非高斯形狀（在 +/-2 處有硬邊緣、之外密度為零），且對邊緣波動毫無說明，後者是 N^(-2/3) 尺度上的 Tracy-Widom。