動差法與非交叉配對（moment method and non-crossing pairings）

動差法是證明 Wigner 矩陣特徵值直方圖為半圓的第一個、也最直接的方法。其思想直接借自第一卷中用於普通依分布收斂的動差法：線上一個（輕尾的）測度由其動差序列所決定，所以要證明一個隨機測度收斂到目標，你就證明每個動差收斂到目標的動差。對隨機矩陣而言，特徵值分布的動差無須真正求出任何特徵值便可計算——透過跡。

關鍵恆等式是：經驗譜分布的 k 階動差是一個歸一化的跡：x^k 對 mu_{H_N} 的積分等於 (1/N) sum over i of lambda_i^k = (1/N) trace(H_N^k)。現在把 k 次冪的跡展開為對閉合指標序列 i_1 -> i_2 -> ... -> i_k -> i_1 之和：trace(H_N^k) = sum over such closed walks of the product H_{i_1 i_2} H_{i_2 i_3} ... H_{i_k i_1}。取期望後，每條走道貢獻一個元素乘積的期望。由於元素獨立且均值為零，除非走道所用的每條邊都被走過偶數次，否則該走道貢獻為零——每個元素必須與自身配對才能存活。計數哪些配對在 N -> 無窮的縮放下存活，便是純組合學問題：當 k = 2m 為偶數時，主導貢獻來自由 2m 步的非交叉配對劃分所編碼的走道，這些走道勾勒出一棵樹（一個平面結構）。2m 個對象的這種非交叉配對數恰為 Catalan 數 C_m，而奇數階動差消失——這正是半圓的動差序列。

非交叉配對是問題的核心。把 2m 步畫成線上的點，並用線上方的弧連接配對的步：若無兩弧相交則此配對為非交叉。2m 點的非交叉配對數為 C_m = (1/(m+1)) binomial(2m, m)，即 Catalan 數，且它們與平面樹、平衡括號、Dyck 路徑一一對應。相對地，交叉配對迫使閉合走道訪問較少的不同指標，因而帶有額外一個 1/N 的冪次，在極限中將其消滅。這個組合學二分法——非交叉存活、交叉消亡——正是在自由機率中重現的結構，那裡的自由性恰恰由交叉（交替）動差的消失所定義。一個注意事項：動差法需要元素的所有動差有限（或謹慎截斷），它證明體相密度的收斂，但不適合邊緣，那裡最大特徵值需要階數增長到 k ~ N^(2/3) 的動差以及遠為精細的計數。