特徵值間距與正弦核（eigenvalue spacing and the sine kernel）

若半圓律是特徵值位於何處的全域圖像，特徵值間距統計則是它們彼此如何排列的局部圖像——單一特徵值間隙尺度上的微觀結構。這正是物理學家真正在意的細節層次：Wigner 最初的動機是相鄰核能階之間的間距，而驚人的經驗發現是這些間距並非獨立且指數分布（如獨立點的卜瓦松過程所給出）。它們彼此排斥。在極限中捕捉此排斥的數學對象是正弦核。

放大譜體相中固定點 E 附近的特徵值並縮放使平均間距變為 1（把間隙乘以局部密度乘以 N）。在此微觀極限中特徵值形成一個行列式點過程，其相關核是正弦核：K(x, y) = sin(pi (x - y)) / (pi (x - y))。「行列式型」意指在位置 x_1, ..., x_k 找到特徵值的機率是矩陣 [K(x_i, x_j)] 的行列式，而所有局部統計——間隙分布、區間內特徵值計數的變異數——皆由此單一核推出。其定義性後果是能階排斥：找到兩個特徵值間隔為小 s 的機率密度當 s -> 0 時消失，對 GUE 像 s^2（一般像 s^beta，beta = 1, 2, 4）。這與卜瓦松過程形成鮮明對比，後者的點獨立放置、最近鄰間距為指數分布且在 s = 0 處密度為正——卜瓦松點群聚，特徵值彼此迴避。一個著名的閉形式近似——Wigner 猜度——給出 GUE 間隙密度約為 (32/pi^2) s^2 exp(-(4/pi) s^2)，捕捉 s^2 排斥與高斯尾衰減。

正弦核是體相的普適局部律：體相普適性是這樣的定理——一個一般 Wigner 矩陣（任何具有正確動差的元素分布）在體相展現正弦核統計，與同對稱類的高斯系綜完全相同。此普適性正是為何隨機矩陣間距分布是橫跨自然界的真實標記——出現於重核的共振能階、Riemann zeta 函數的零點（Montgomery-Odlyzko）、混沌量子撞球的能階，甚至停放車輛的間距與公車到站時刻。正弦核是相關、互斥譜的指紋。一個注意事項：能階排斥是局部統計的性質，而非全域密度的；且正弦核是體相律。在譜的邊緣，正確的核是 Airy 核（其最大粒子分布為 Tracy-Widom），在硬邊緣則是 Bessel 核。人們必須指明自己看的是譜的何處。