弗羅貝尼烏斯根的三種情形（three cases）
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一旦指標方程交給你它的兩個根 r_1 與 r_2（標記成 r_1 >= r_2），自然就有一問：它們給你兩個乾淨的弗羅貝尼烏斯級數，還是會發生更微妙的事，會不會有對數溜進來？答案被整理成三種情形，完全由差 r_1 - r_2 決定。知道自己落在哪一情形，就能告訴你第二個獨立解該期待的確切形式。
走一遍這三種情形。情形一，兩根相差一個非整數（r_1 - r_2 不是整數）：輕鬆幸運的情形。每個根給出各自的獨立弗羅貝尼烏斯級數，y_1 = x^(r_1)（級數）與 y_2 = x^(r_2)（級數），便完成了。情形二，兩根相等（r_1 = r_2）：一個根只給一個級數，故第二個解必取形式 y_2 = y_1 ln(x) + x^(r_1)（一個新級數），此處對數總會出現。情形三，兩根相差一個正整數（r_1 - r_2 為正整數）：較大的根 r_1 總給出乾淨的級數；較小的根可能給出一個獨立級數，或者遞迴可能崩潰而迫使出現對數項 y_2 = c y_1 ln(x) + x^(r_2)（級數），其中常數 c 可能恰為零（則無對數）或不為零（則有對數）。
為何要記住這套分類？因為它省去你白費的力氣：在情形二與三中，你不可單純期待兩個平凡級數，而要主動把 ln(x) 項建進去（常透過降階法，或對 r 微分）。這正是整數階貝索函數取得其對數型「第二類」夥伴之處。情形的區分，是「找到完整通解」與「只拿到一半便卡住」之間的差別。
階 nu = 1/2 的貝索方程有根 r = +1/2 與 r = -1/2，相差 1，是正整數，故為情形三。此處結局良性：兩根都給出獨立級數（J_(1/2) 與 J_(-1/2)，即 sin 與 cos 除以 sqrt(x)），不需對數。但階 nu = 0 給出二重根 r = 0（情形二），那裡第二個解 Y_0 確實帶有一個 ln(x)。
情形三（整數差）是棘手的那個，對數可能出現也可能不出現；你必須算出常數 c 才知道是哪一種。
常見的錯誤是以為只要根差為整數（或相等）就必有對數。在情形三有時並沒有，唯有計算遞迴係數才能定奪；只有情形二（相等根）保證有對數。