由奇異值得到弗羅貝尼烏斯範數

弗羅貝尼烏斯範數是度量矩陣最接地氣的方式：把它的元素當成一根長向量，取普通的歐幾里得長度。||A||_F = sqrt(所有 a_ij^2 之和)。它是矩陣的總能量，對每個元素一視同仁——用一個數說明整個陣列有多大。

經由 SVD 它有了更乾淨的面貌：||A||_F = sqrt(sigma_1^2 + sigma_2^2 + ... + sigma_r^2)。元素平方和等於奇異值平方和。這是 Schatten 2 範數，是譜範數（Schatten 無窮）與核範數（Schatten 1）的搭檔——同樣的平方和之根，只是用在奇異值而非原始元素上。

它之所以成立的深層原因是旋轉不變性。對任意正交 U 與 V，||U A V^T||_F = ||A||_F——乘以正交矩陣不改變弗羅貝尼烏斯範數，因為正交映射保持長度。由於 A = U Sigma V^T，A 的範數等於 Sigma 的範數，而 Sigma 唯一的非零元素就是對角線上的奇異值。於是得到奇異值平方和的公式。

等價地，||A||_F^2 = trace(A^T A) = A^T A 特徵值之和 = sigma_i^2 之和——同一份能量的三種說法。這正是埃卡特-楊弗羅貝尼烏斯情形所最小化的範數，也是當你在意整體擬合而非最壞情形拉伸時，逼近誤差的自然度量。