核（跡）範數

核範數是對一個矩陣奇異值最簡單的概括：把它們全部加起來。||A||_* = sigma_1 + sigma_2 + ... + sigma_r。譜範數取最大值，弗羅貝尼烏斯範數取平方和的根，而核範數取樸素的和。這三者正是 Schatten 無窮、2、1 範數——把同一個 lp 思想用在奇異值向量上。

它的主角戲份是充當秩的凸替代。直接最小化秩是組合性的、NP 困難的；秩計的是有多少個奇異值非零，這是個不連續、非凸的東西。核範數是逼近秩的最緊凸函數（它在譜範數單位球上的凸包絡），正如 l1 範數是統計向量中非零元素個數的凸替代。

這正是矩陣補全的動力。給定一個大部分元素缺失的矩陣（想想一張你要填補的評分表），你尋找既匹配已觀測元素、又具有最小核範數的矩陣。由於最小化核範數會推向低秩，你便恢復出一個有結構的低秩補全——而且了不起的是，在溫和條件下你能精確恢復真實矩陣。這正是 Netflix 式推薦突破背後的引擎。

實用上的吸引力在於：核範數最小化是一個凸優化問題，因而有可由可靠求解器達到的全局最優，不像無從下手的直接秩最小化。你以精確性上的小小代價，換來可解性上的巨大收益。