體公理

體公理是一份簡短的規則清單，它聲明算術運算的表現和你在學校學到的一樣。它們保證加法和乘法都滿足交換律與結合律，存在特殊的數零與一，每個數都有相反數，每個非零數都有倒數，並且乘法對加法滿足分配律。

細緻地說，體是一個帶有加法與乘法兩種運算的集合，滿足：兩種運算都滿足結合律與交換律；加法有單位元 0，每個元素 a 有加法逆元負 a；乘法有不同於 0 的單位元 1，每個非零元素有乘法逆元；並且分配律成立，即 a 乘以 b 與 c 之和等於 a 乘 b 加 a 乘 c。這大約九條規則就是你從頭證明代數事實時所能動用的全部。

有理數、實數和複數都是體。關鍵在於，體公理對序和極限隻字未提，所以單憑它們無法刻畫實數的特別之處。它們是代數地基，序與完備性是後來添加上去的。