期望門檻（the expectation threshold）

期望門檻是一個量，它捕捉了單調性質在隨機結構中出現時最簡單可能的障礙，並位居機率組合學近年最深刻成果之一的核心。對於一個單調遞增的性質（一旦為真，加入更多元素後仍保持為真），存在一個臨界密度 p_c，在此處隨機結構由通常缺乏該性質轉變為通常具有該性質——這就是門檻。第一動差法立即給出此門檻的下界：在使該性質的最小見證者期望個數約為 1 的密度以下，該性質不太可能出現，原因僅僅是平均而言連一個見證者都沒有。

精確地說，遞增族 F 的期望門檻 q(F) 大致是使人能在 F 上放置一個「覆蓋」的最小 p——所謂覆蓋是一小簇子結構，其存在被 F 所迫使——使得在密度 p 下其總期望權重至少為 1。由構造它就是真實門檻的下界，因為若連最便宜的覆蓋都不被期望出現，性質就無法出現：恆有 q(F) <= p_c。Kahn 與 Kalai 在 2006 年自然地問：這兩個門檻能相距多遠？期望門檻猜想斷言它們相距絕不超過一個對數因子：p_c <= O(log(規模)) * q(F)，也就是說，平凡的第一動差障礙在差一個對數的意義下是唯一的障礙。

此猜想於 2022 年由 Park 與 Pham 證明（Kahn-Kalai 猜想的分數版本），是本領域里程碑式的定理之一，證明出奇地短。其實用衝擊極大：要在差一個對數因子的意義下找出幾乎任何單調性質的門檻，你不再需要精細的第二動差或銳利門檻分析——只需計算最便宜的期望覆蓋，這是一個第一動差計算。這幾乎機械地統一並重證了一長串門檻結果（超圖中的完美匹配、Hamilton 迴圈、有界度生成樹）。誠實的提醒是殘留的對數間隙：對具有銳利門檻的性質，這個對數因子是真實的，光憑期望門檻無法定出常數，只能定到差一個對數的階。