橢圓（ellipse）
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傾斜一杯水，液面的邊緣描出一個橢圓；圓的影子、行星的軌道、橄欖球側看的截面——全是橢圓。橢圓是一個封閉、被壓扁的圓：一條平滑的卵形迴圈，向一個方向鼓出、在另一方向收窄。
最乾淨的定義用兩個內部的特殊點，即兩焦點（單數：焦點）。橢圓是所有使「兩段焦距之和保持定值」的點 P 所成的集合：|PF_1| + |PF_2| = 2a，總和固定。這就是園丁的技巧——把一圈繩子釘在兩根樁上，用鉛筆拉緊，鉛筆便畫出橢圓。把兩焦點放在 x 軸上的 (-c, 0) 與 (c, 0)，曲線有標準式 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中 a 是半長軸（長向之半）、b 是半短軸（短向之半），兩者由 b^2 = a^2 - c^2 相繫。中心是兩焦點的中點；曲線與兩軸相交的四個點是頂點。
為何重要：克卜勒第一定律說每顆行星沿橢圓繞太陽公轉，太陽位於一個焦點——而非中心，這是個微妙而重要的差別。橢圓的離心率 e = c/a 量度它被壓扁的程度，從 0（完美的圓，兩焦點合一）一直趨向 1（細長的一條）。而它的迴音廊反射——從一焦點發出的聲音匯聚於另一焦點——使橢圓形房間成為聲學奇景，也塑造了把震波聚焦於腎結石的醫用碎石機。
對於 x^2/25 + y^2/9 = 1，讀出 a^2 = 25、b^2 = 9，故 a = 5、b = 3。再由 c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16 得 c = 4：兩焦點為 (-4, 0) 與 (4, 0)。取頂點 (5, 0)：其兩段焦距為 |5 - (-4)| = 9 與 |5 - 4| = 1，相加得 10 = 2a。離心率為 e = c/a = 4/5 = 0.8。
焦距之和的定值等於 2a，即長軸的全長。
常見的錯誤是把太陽放在軌道中心。它位於一個焦點，偏離中心。此外，圓是 e = 0 的特殊橢圓（兩焦點重合、a = b），並非另一種曲線。