焦距定義（focal-distance definitions）

有一種動手畫橢圓的方法，只需兩根針與一圈繩子：把繩圈釘在兩點，用鉛筆拉緊，再滑動鉛筆繞一圈——它畫出的曲線就是橢圓。這之所以可行，正因為焦距定義，它直接從兩個焦點建出橢圓與雙曲線，眼前既無圓錐也無準線。

對橢圓而言：取兩焦點 F_1 與 F_2；橢圓是所有「兩段焦距之和為定值」的點 P 所成的集合，即 |PF_1| + |PF_2| = 2a。釘住的繩子長度固定，所以鉛筆到兩針的兩段距離永遠相加為同一個量——恰是這條規則。對雙曲線而言，把和換成差：它是所有滿足 | |PF_1| - |PF_2| | = 2a（定值）的點 P 所成的集合。（一支較靠近 F_1，另一支較靠近 F_2；絕對值把兩者一併收進。）兩種情形中，2a 都恰為兩頂點間的距離，即長軸或貫軸的長度。

這些定義極為具體，也正是這些曲線出現於自然與工程的原因：行星服從定和律（克卜勒），而定差律是雙曲線導航的基礎，兩個訊號的時間差把你固定在一條雙曲線上。焦距定義、焦點-準線性質與平面截痕定義所描述的恰是同一批曲線——旦德林球證明了它們一致。