愛因斯坦流形（Einstein manifold）
在所有黎曼度量中，有些特別均衡：它們的里奇曲率在每個方向都相同，與度量本身成比例。這些就是愛因斯坦流形。此名向愛因斯坦的重力致敬，那裡的真空場方程（帶宇宙常數）恰好說的就是這件事——里奇張量是度量的常數倍——所以愛因斯坦流形是均勻、無源重力宇宙的幾何模型。
黎曼流形 (M, g) 稱為愛因斯坦的，若 Ric = lambda g 對某常數 lambda 成立，即里奇張量處處是一個固定純量乘以度量。取跡得 lambda = S/n，其中 S 是純量曲率、n 是維度，所以愛因斯坦流形自動具有「常」純量曲率。在維度 n >= 3 時，透過第二比安基恆等式（舒爾引理）有一個漂亮的剛性：若 Ric = f g 對某函數 f 成立，則 f 被迫為常數，所以你只需逐點的比例性、而非常數性，就能斷定流形是愛因斯坦的。二維與三維是退化情形：每個曲面平凡地是愛因斯坦的，而三維中愛因斯坦已迫使常截面曲率。
為何重要與一個誠實的提醒。愛因斯坦度量是總純量曲率泛函的臨界點，在幾何與物理中居核心地位，而在給定流形上找到它們是困難的偏微分方程問題。關鍵的誠實：「愛因斯坦」只限制曲率的里奇（跡）部分，所以在維度 n >= 4 時，愛因斯坦流形一般「不」具常截面曲率——無跡的韋爾曲率不受限制。常曲率空間形式是愛因斯坦的，但逆命題嚴重失敗：K3 曲面與許多其他流形是愛因斯坦的卻不是空間形式。
圓球面、平坦空間與雙曲空間都是愛因斯坦的（lambda 分別為正、零、負）。但帶富比尼-施塔迪度量的複射影空間、以及帶卡拉比-丘里奇平坦度量的 K3 曲面（lambda = 0）也是——而這些絕「不」是常曲率的，顯示在維度 >= 4 時愛因斯坦嚴格弱於空間形式。
空間形式是愛因斯坦的，但愛因斯坦嚴格更廣：K3 與 CP^n 是愛因斯坦的卻無常曲率。
愛因斯坦只限制里奇／跡部分；韋爾曲率自由。所以在維度 >= 4 時，愛因斯坦並「不」意味常截面曲率——那個更強的條件才定義空間形式。