卡拉比-丘流形（Calabi-Yau manifold）
/ kah-LAH-bee YOW /
在凱勒流形之中，有一類最對稱、最均衡者：里奇曲率恰為零者——用物理語言說，這是複幾何的重力真空。卡拉比-丘流形是容許這樣一個里奇平坦凱勒度量的緊凱勒流形。它們是平直空間的複幾何對應物，卻具有豐富的拓樸，並同時是弦論額外維度的核心對象，以及幾何分析的一項深刻勝利。
精確地說，卡拉比-丘流形是第一陳類 c_1 消失（在 H^2(M, R) 中）的緊凱勒流形；等價的刻畫包括：典範叢 K_M 平凡，或容許一個處處不為零的整體全純 n-形式（全純體積形式），或和樂群含於 SU(n) 中。其深度來自卡拉比猜想，由丘成桐證明：在緊凱勒流形上，代表 2pi c_1 的每個里奇形式，都是每個凱勒類中唯一一個凱勒度量的里奇形式。特化到 c_1 = 0，這便在每個凱勒類中給出唯一的里奇平坦凱勒度量——存在性有保證，但該度量幾乎從不以閉形式已知（除環面外，緊卡拉比-丘上沒有已知的明確里奇平坦度量）。其證明透過 partial partial-bar 引理，把幾何陳述化約為求解一個複蒙日-安培方程 det(g_{i,j-bar} +（phi 的混合二階導數）) = e^F 乘以 det(g_{i,j-bar})，求位勢 phi。
它們為何重要：卡拉比-丘三維流形（複維數 3）在超弦論中緊化那額外的六個維度，其幾何編碼了由此產生的物理；它們也是鏡像對稱的舞台，那是一種令人驚訝的對偶，把拓樸不同的卡拉比-丘配成一對。誠實提醒：里奇平坦（一個關於里奇曲率的條件）並不意味平直——完整的黎曼曲率一般不為零，所以卡拉比-丘是彎曲的，只是里奇平坦。而那些著名的度量依丘的定理存在卻不明確；CP^4 中的五次三維流形這個標準例子，有一個保證存在的里奇平坦度量，卻無人能寫出。
五次三維流形——五變數的一般 5 次齊次多項式在 CP^4 中的零點軌跡——是教科書級的卡拉比-丘。它的典範叢平凡（由附加公式，因 5 = 4 + 1），故 c_1 = 0，而丘的定理保證它上面有一個里奇平坦凱勒度量。那個度量已知存在卻從未被明確寫出，五次流形也是鏡像對稱中研究最多的例子。
CP^4 中的五次流形是標準的卡拉比-丘三維流形：c_1 = 0，有一個保證存在卻未知的里奇平坦度量。
里奇平坦不是平直：卡拉比-丘一般具有非零的完整黎曼曲率。而雖然丘的定理保證度量存在，它幾乎從不明確——除平坦環面外，沒有任何緊卡拉比-丘度量被以閉形式寫出。