純量曲率（scalar curvature）
如果里奇曲率仍帶有方向資訊，純量曲率就是把方向也平均掉後得到的單一數字：流形上的一個函數，概括每一點附近空間整體的彎曲程度。它是最粗的曲率不變量，而值得注意的是，它恰好就是告訴你小球比平坦空間裝得多還是少的那一項。
純量曲率 S（常記作 R 或 Scal）是里奇張量相對於度量的跡：S = g^ij Ric_ij。等價地，它是對單位正交基 e_i 的所有座標二平面截面曲率之和（帶適當組合因子），故它把截面曲率平均了兩次。其最乾淨的幾何意義：半徑 r 的小測地球體積滿足 Vol(B_r) = omega_n r^n ( 1 - (S/(6(n+2))) r^2 + ... )，其中 omega_n 是歐氏球體積。正 S 意味著小球略小於歐氏；負 S 意味著略大。
它出現在哪裡與誠實的層級。純量曲率是廣義相對論中愛因斯坦-希爾伯特作用量的被積函數，也是二維中其在曲面上的總和受高斯-博內定理控制的量（那裡 S = 2K）。它也是曲率中「最弱」的：它比完整黎曼張量低兩個跡，所以純量界遠不如里奇界，里奇界又遠不如截面界所言之多。尤其正純量曲率是出了名的弱條件——它允許正里奇所禁止的拓樸——所以切勿把「正純量曲率」讀成截面意義下的「正曲率」。
在曲面上（n = 2），純量曲率恰是高斯曲率的兩倍，S = 2K，所以 S 在閉曲面上的積分等於 8 pi 乘以一減虧格（高斯-博內）。在更高維中，處處 S > 0 是如此之弱，以致例如球面與各種流形的連通和仍容許正純量曲率，而正里奇則嚴格得多。
在二維中 S = 2K 且積分為一個拓樸常數；在高維中 S > 0 是極弱的限制。
純量曲率是最弱的曲率不變量（比黎曼低兩個跡）。正純量曲率遠弱於正里奇，正里奇又弱於正截面——切勿把「正純量曲率」與任何更強意義下的正曲率混為一談。