狄拉克算子（Dirac operator）
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物理學家想要一個是拉普拉斯算子平方根的波動算子——一個一階算子 D，其平方是二階的拉普拉斯算子，D^2 = -Delta（差一些低階曲率項）。用普通的數無法取這樣的平方根，因為有交叉項；狄拉克的技巧是使用反對易矩陣（克利福德代數），使交叉項相消。幾何狄拉克算子是這個想法的流形版本：一個作用在旋量場上的一階橢圓算子，其平方美妙地是拉普拉斯算子加上一個曲率項。它是現代幾何中最重要的單一算子——它就是阿蒂亞-辛格指標定理中的算子，幾乎每個古典情形都由它推導而來。
它是這樣建構的。在黎曼自旋流形 (M, g) 上你有一個旋量叢 S，其纖維帶有克利福德代數表示的向量叢：克利福德乘法讓切向量 v 作用在旋量上，滿足定義關係 v . w + w . v = -2 g(v, w)。用提升到 S 的列維-奇維塔聯絡，狄拉克算子是 D = sum_i e_i . nabla_{e_i}，其中 {e_i} 是局部正交標架、點號是克利福德乘法——你在每個方向協變微分旋量，然後用該方向作克利福德乘法並求和。奇蹟是利希內羅維茨公式 D^2 = nabla* nabla + S/4，其中 nabla* nabla 是聯絡拉普拉斯算子、S 是純量曲率：把一階狄拉克算子平方會還原出一個拉普拉斯算子加上恰好四分之一的純量曲率，沒有其他曲率項。D 是橢圓的，且在閉流形上（在無分次情形）自伴、譜離散。
為何它居於核心：狄拉克算子的指標（在自然的 Z/2 分次後，核的維數減去餘核的維數）由 A-hat 虧格計算，那是一個示性數，而這是阿蒂亞-辛格最乾淨的實例。利希內羅維茨公式本身就給出一個著名的障礙——若處處 S > 0，則 D 沒有核，故 A-hat 虧格必須消失，這禁止了許多自旋流形容許正純量曲率度量。誠實的前提：此構造需要一個自旋結構（或至少一個 spin-c 結構），並非每個流形都容許——障礙是第二史蒂弗-惠特尼類 w_2——故「狄拉克算子」預設了那個拓樸條件。也有好幾種狄拉克型算子（自旋、spin-c、視為形式上狄拉克算子的德拉姆算子 d + d*、S 張量 E 上的扭曲狄拉克算子）；要明確你指的是哪一個，因為它們的指標計算不同的示性數。
在帶常值旋量的平坦 R^4 上，狄拉克算子在座標下是 D = sum_{k=1}^4 gamma^k partial_k，其中 gamma^k 是 4x4 的狄拉克 gamma 矩陣、滿足 gamma^j gamma^k + gamma^k gamma^j = -2 delta^{jk}；平方得 D^2 = -(partial_1^2 + ... + partial_4^2) = -Delta，因為交叉項藉反對易相消，這是 S = 0 的利希內羅維茨公式的平坦情形。
反對易的 gamma 矩陣使一階狄拉克算子的平方成為拉普拉斯算子——這是構造的代數核心。
狄拉克算子需要自旋結構，其存在當且僅當 w_2(M) = 0；沒有它便退回 spin-c（在可定向 4-流形上恆存在），其狄拉克算子正是塞伯格-威滕理論所用的那個，故在固定結構之前「那個」狄拉克算子是有歧義的。