指標定理的熱核證明（heat-kernel proof of the index theorem）

阿蒂亞-辛格指標定理把一個來自分析的計數（某橢圓方程有多少解，更精確地是核維數減去餘核維數）與一個來自拓樸的數（示性曲率的積分）相等。這兩件事究竟為何該相等？熱核證明給出一個極為物理的答案：跑該算子對應的熱方程，觀察當時間趨於零時熱如何耗散。一個特定的熱跡組合與時間無關，故你能用兩種方式計算它——在大時間它只看見解析指標，在小時間它只看見局部曲率——把兩者相等便得到定理。

以下是分步驟的方法。設 D 是帶伴隨 D* 的狄拉克型算子，把旋量分裂為 + 與 - 部分，故 D: S^+ -> S^-，指標是 dim ker D - dim ker D*。(1) 形成兩個熱算子 e^{-t D* D} 與 e^{-t D D*}。McKean-Singer 公式說對每個 t > 0 都有 index(D) = Tr(e^{-t D* D}) - Tr(e^{-t D D*})——超跡恰好與時間無關，因為 D*D 與 DD* 的非零特徵值成對相消，只剩下核。(2) 取 t -> infinity：只有零特徵值倖存，你便直接讀出指標。(3) 取 t -> 0：熱核有一個短時漸近展開，其係數是局部曲率多項式，故超跡變成某特定曲率密度在 M 上的積分。(4) 因為答案不能依賴 t，小時間的局部積分必須等於指標。把那個局部積分辨認為恰好是 A-hat 虧格（或相關示性類）是困難的分析步驟；最乾淨的版本是 Getzler 的重新縮放，它對克利福德變數作巧妙縮放，使主導的短時項幾乎不用計算就組裝成 A-hat 形式。

為何此證明受人喜愛：它是局部且明確的——它顯示拓樸那一側確實從一個曲率計算中浮現，而且它推廣到族、等變情形，並給出局部指標定理（一個逐點的、而非僅積分後的陳述）。誠實的提醒。其一，超跡的時間無關性是精確的，但從小時間展開萃取出正確的示性類確實微妙；Atiyah 所盼望的「奇妙相消」是真實的，但直到 Getzler 的重新縮放與 Patodi 較早的工作才被馴服。其二，熱核方法計算的是上同調的指標公式，它並非偽裝的曲率恆等式——這相等是在一個整數（解析指標）與一個碰巧為整數的積分之間；不要說阿蒂亞-辛格「就是」高斯-博內型的曲率定律，即便高斯-博內是它重現的一個特例。