阿蒂亞-辛格指標定理（Atiyah-Singer index theorem）
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在緊流形上解微分方程 Du = f，你可以問兩個粗略的計數問題：Du = 0 有多少獨立解（核），以及為使解存在 f 必須滿足多少障礙（餘核）。它們的差 dim ker D - dim coker D 是解析指標——單一個整數。阿蒂亞-辛格指標定理驚人的主張是：這個源於艱深分析的解析數，等於一個由示性類計算出的純拓樸數，而答案中看不到任何分析的痕跡。
精確地說，設 D 是閉流形 M 上向量叢 E 與 F 截面之間的橢圓微分（或擬微分）算子。橢圓性意味 D 的符號——其最高階部分，餘切球面上的一個叢映射——在零截面之外可逆；正是這點使核與餘核有限維，故解析指標 ind(D) = dim ker D - dim coker D 是良定的整數。定理說 ind(D) 等於拓樸指標：M 上一個特定示性類表達式的積分，該表達式由符號的 K 理論類經陳特徵與切叢的陶德類建立，ind(D) = M 上 ch(符號) Td(TM) 的積分（示意地）。符號住在 K 理論中，陳特徵把它翻成上同調，積分產生那個數。
它的影響極廣：高斯-博內定理、希策布魯赫符號差定理、以及黎曼-羅赫定理都是特例，分別由代入德拉姆、符號差、多爾博算子而還原。它開啟了 K 理論在分析中的角色，並支撐幾何與物理中的指標理論。兩個誠實的警告：它是解析指標與拓樸指標的等式，而非曲率恆等式——雖然熱核證明會經過曲率，陳述本身卻是拓樸的；且它要求橢圓性與閉（緊、無邊界）流形。在帶邊流形上需要遠為微妙的阿蒂亞-帕托迪-辛格版本，帶有 eta 不變量的修正。
代入德拉姆算子 d + d^*，它把閉偶數維 M 上的偶形式映到奇形式。它的解析指標是貝蒂數的交錯和，即歐拉示性數 chi(M)。此情形的拓樸指標積分 TM 的歐拉類，定理化約為高斯-博內-陳定理：chi(M) = M 上歐拉形式的積分。同一台機器，古典特例。
德拉姆算子的指標是歐拉示性數；阿蒂亞-辛格特化為高斯-博內-陳定理。
它把解析指標（核減餘核的維數計數）與由示性類建立的拓樸指標等同；它不是曲率恆等式，儘管熱核證明用到曲率。它需要橢圓性與閉流形——邊界需要帶 eta 不變量的阿蒂亞-帕托迪-辛格精細化。