拓樸K理論（topological K-theory）
/ KAY-theory /
X 上的叢可以相加（直和），卻不能相減——你無法真的取 E 減 E'。K 理論就是強迫減法存在的代數手段，正如允許形式差而從自然數造出整數的那個把戲。其結果 K(X) 是一個由 X 上向量叢乾淨地建立的環，乾淨到叢的問題化為普通代數、甚至廣義上同調的問題。
從 X 上複向量叢的同構類集合出發。直和使它成為一個交換么半群（可加，以零叢為單位元，但不可減）。格羅滕迪克群構造形式地添加逆元：K(X) 由叢類的形式差 [E] - [F] 組成，其中 [E] - [F] = [E'] - [F'] 當且僅當對某叢 G 有 E + F' + G 同構於 E' + F + G（這個多出的 G 吸收了穩定化）。叢的張量積使 K(X) 成為交換環，以平凡線叢為乘法單位元。另有由實叢建立的實版本 KO(X)，以及剝去平凡部分的約化版本。
K 理論是一個真正的廣義上同調理論：它同倫不變、具有正確的長正合序列，並滿足除維數公理外的所有艾倫伯格-斯廷羅德公理（點的 K 是 Z，並不集中在單一次數）。它的招牌特徵是博特週期性——複 K 理論每 2 個次數重複，實的每 8 個——這使它極其可計算。它是阿蒂亞-辛格指標定理的自然居所，且透過陳特徵，它在有理意義下不過是偶次數的普通上同調，但在整係數下它看得更多，包括普通上同調以不同方式組織的撓現象。
對一個點，K(point) = Z：點上的叢就是一個向量空間，其類即維數，形式差給出整個 Z。對二維球面，K(S^2) = Z + Z（在 Z 上秩 2）：一個 Z 是秩，另一個由類 [H] - 1 生成，其中 H 是 CP^1 = S^2 的重言線叢。第二個生成元偵測普通維數看不到的非平凡扭轉。
K(point) = Z 計數維數；K(S^2) = Z + Z，多出的因子來自扭轉的重言線叢。
K 理論刻意不滿足維數公理：點的 K 不集中於 0 次，這正是它成為廣義（非常規）上同調理論而非普通上同調的原因。不要期望 K^n(point) 在 n 非零時為零——博特週期性填滿了偶次數。