延期壽險精算函數（deferred insurance）

延期壽險是要等過了一段「等待期」後才生效的保障。前 m 年完全沒有身故給付；從第 m 年起，照常提供身故給付。想像一家雇主承諾給員工人壽保障，但要服務滿五年才生效——保障是真實的，只是在延期期滿之前一直處於休眠狀態。被保險人越可能早逝，這種「晚點才開啟」的設計就為保險公司省得越多。

它的價值記作 m|A_x（m 之後的橫槓表示「延期 m 年」），是一份只在 m 年之後才開始賠付的終身壽險的精算現值。你可以直接計算：把折現、按死亡率加權的身故給付只對第 m+1 年及以後求和，完全忽略前 m 年。更優雅的是用減法：m|A_x = A_x 減 A^1_{x:m}，即終身壽險價值減去本應覆蓋前 m 年的定期壽險。它也可寫成 m 年純生存保險乘以對年長生命的終身壽險：m|A_x = mE_x 乘以 A_{x+m}，讀作「先活過延期期，再以屆時年齡買終身壽險」。

延期壽險是定期壽險的天然互補——定期覆蓋前段窗口，延期覆蓋其後的一切，二者合起來重建終身壽險。凡是給付帶等待期、歸屬條件或延後起始時，它都會出現，而同樣的「延期」思路可直接搬到延期年金。要避免的誤解是模糊地認為「延期就是因為晚付所以便宜」；它便宜的精確原因在於：它扣掉了所有早年的身故給付，而對年輕生命來說，這些早年給付權重很高且折現很輕。