完備公理（completeness axiom）

阿基米德公理禁止無限大或無限小的長度，卻仍讓直線佈滿針孔。想像數線上的有理點：它們處處稠密，卻在根號 2 處沒有有理點，於是一條只以有理數為點的線，恰好在單位正方形對角線該穿過之處有個缺口。完備公理就是補上每一個這類洞的修補，保證幾何直線是無縫的連續體，沒有缺失的點。

希爾伯特把它表述為一個極大性條件：一條線上的點構成一個系統，在不破壞先前公理（接合、順序、全等與阿基米德公理）的前提下，無法再添加任何點進去。說白些，這條線在那些公理允許的範圍內已經滿了——你塞不進額外的點。一個等價而更直觀的版本是戴德金公理：若你把一條線上所有的點分成兩個非空集合，一個「左」部與一個「右」部，使每個左點都在每個右點之前，則恰有一個點作成這個分割——不是左邊最後一點，就是右邊第一點。每個對直線的乾淨切分都由一個實際的點封住；沒有哪個切分落進缺口。

為何重要：完備性正是讓兩個本應相交的圓真的交於一點、保證一條由線一側越到另一側的連續曲線真的碰到該線、並讓每個長度對應一個實數、每個實數對應一個長度的依據。它與阿基米德公理一起，使幾何直線成為實數線的忠實副本。這也是最深的一條公理——它把歐氏幾何由離散或有理的骨架提升到完整的實連續體，正是這個成分讓實平面成為（在同構意義下）唯一的模型。