阿基米德公理（Archimedean axiom）

拿一個頂針和一座游泳池。阿基米德公理說的是你的常識早已相信的事：把頂針裡的水倒進泳池夠多次，終究能把它裝滿——無論多大的長度，都逃不出任何（無論多小的）長度重複複製所能觸及的範圍。沒有哪條線段長到讓一條短線段首尾相接有限多次也永遠追不過它。它是禁止「無限大」與「無限小」長度在同一條線上並存的公理。

謹慎地陳述，它是希爾伯特兩條連續公理中的第一條。給定任兩線段 AB 與 CD，其中 AB 較短，則存在一個正整數 n，使 AB 沿射線首尾相接 n 份後超過 CD。等價地說，沒有線段相對於另一線段是「無窮小」的：若你把一個固定的小長度不斷加給自己，總和無界地成長，終會越過任何目標。這正是實數的那條性質：對任意正實數 x 與任意實數 y，某個整數倍 n 乘 x 會大於 y。它把幾何直線繫到尋常的數線上。

它之所以重要，是因為它正是讓你能對線段附上實數長度的依據——日常意義的「度量」倚賴它。但它確實是個額外假設，而非邏輯必然：存在一致的「非阿基米德」幾何，含有無窮小線段，其中某線段為正、卻小於給定單位的每一份複製分數。那些幾何滿足接合、順序與全等，卻違反此公理——這正是我們得知阿基米德公理具獨立性、無法由其他公理證出的原因。