希爾伯特公理（Hilbert's axioms）
/ HILL-bert /
歐幾里得的《幾何原本》是一座宏偉的建築，但其中幾個承重的論證，悄悄倚賴了公設從未授予的事實——例如一條進入三角形的線必會離開它，兩個看似相交的圓真的會交會。大衛．希爾伯特（David Hilbert）於 1899 年的《幾何基礎》（Grundlagen der Geometrie）中，以一套完整、無缺口的公理重建了整個平面與立體幾何，正好補上這些沉默的假設。他的系統是歐幾里得的標準現代修補版。
希爾伯特由三類未定義物件——點、線、面——與三個未定義關係——「落在……上」（接合）、「介於」、「全等」——出發。他接著把公理分成五族，各管一個概念：接合公理（哪些點落在哪些線與面上）、順序公理（「介於」如何運作，含帕施公理）、全等公理（線段與角何時算大小相等）、連續公理（阿基米德公理與一條完備公理，保證直線沒有缺口），以及唯一的平行公理。由這些——而且只由這些，絕不靠圖——歐幾里得幾何的每條定理都依邏輯推出。
回報有二。其一是嚴謹：歐幾里得每個「看圖即知」的步驟，如今都有明列的公理撐腰，於是證明真正完整。其二是結構：藉由把公理分組，希爾伯特能精確地問哪些定理需要哪些公理——例如，若拿掉平行公理（中立幾何），哪些結果仍成立；以及連續公理如何把幾何與實數連起來。正是他的框架，讓我們得以陳述並證明歐氏幾何的一致性、獨立性與範疇性。
歐幾里得的第一個命題以兩圓相交作出等邊三角形——卻默默假設兩圓會交。他的五條公設沒有一條保證那個交點存在。希爾伯特的連續公理（阿基米德加完備）正是補上它的依據，把缺口堵起來。
五組公理——接合、順序、全等、連續、平行——把歐幾里得的圖變成滴水不漏的邏輯。
希爾伯特並未改變哪些定理為真；歐氏幾何依舊是歐氏幾何。他改的是基礎，補上缺失的公理，讓既有定理是被誠實證出，而非由圖默認。