模型（model）

公理是用未定義的字詞寫成的——點、線、介於——它們本身毫無意義。模型是當你用已理解的物件為那些字詞賦予具體意義、使每條公理都成真時，所發生的事。它是一個忠實的詮釋：一個特定的世界，公理赤裸的文法在其中被實現為誠實的事實。公理描述一種形狀；模型是一個具該形狀之物。

要建一個模型，你做三件事：選一個集合當「點」、說明「線」是什麼、定義像「介於」「全等」這類關係——然後逐條公理檢查，在你的字典下每條都成為真命題。歐氏幾何的標準模型把「點」詮釋為一對實數 (x, y)、「線」為一個線性方程式的解集、距離由畢氏公式給出，依此類推；於是希爾伯特的每條公理都成為關於實數的可查驗事實。但同一組公理可有外觀大不相同的模型。龐加萊圓盤把「點」重新詮釋為圓內一點、「線」為一種特殊的弧，它滿足所有中立公理，卻打破平行公理——一個遵守幾乎相同規則的全然不同世界。

模型是基礎論的主力，因為它把困難的邏輯問題轉成結構的存在問題。想證一套公理系統一致？造一個模型——結構不可能含真矛盾。想證一條公理獨立？造一個模型，其餘成立而它失效。想知道公理是否釘住唯一世界、或留有變化餘地？比較它們的模型：若所有模型本質相同，系統就具範疇性。幾乎每個關於公理的深刻結果——一致性、獨立性、範疇性——歸根究柢都是關於哪些模型存在或不存在的陳述。