一致性（consistency）

一套公理最糟的遭遇是什麼？不是它無趣，而是它暗中自相矛盾。若由你的公理能同時證出一個命題與它的否定——既證「線 AB 與 CD 相交」又證「線 AB 與 CD 不相交」——那麼依邏輯規則，你接著能證出絕對一切，無論真假，整個系統便一文不值。一致的公理系統就是逃過這命運的：由它導不出矛盾。一致性是一個系統要有任何意義所需的最低條件。

當有無窮多個證明、你無法逐一檢查時，你怎能確定沒有矛盾潛伏？標準工具是模型。你展示某個具體的數學結構——由你已信任的物件（如實數）構造的點、線與關係——並驗證每條公理在該結構中都成真。若公理彼此矛盾，矛盾就必會在模型內顯現為一個假命題；但一個真實存在的結構不可能含有真正的矛盾。所以模型證明了一致性。對歐氏幾何，模型是實數對所成的座標平面，「線」意指一個線性方程式——希爾伯特的每條公理都能在那裡查驗。

有個誠實的陷阱，由哥德爾說精確。模型只證明相對一致性：歐氏幾何一致，前提是實數算術一致，因為模型是由實數構造的。你並未無中生有地證出一致性——你把對幾何的信任化約為對數的信任。哥德爾第二不完備定理說這無可避免：一個夠豐富的一致系統，永遠無法從內部證明自身的一致性。所以一致性總是靠倚賴一個你已接受的系統來論證，絕非憑空變出。