開映射定理（the open mapping theorem）

拿平面上任一小塊——比如一個開圓盤——把它推過一個解析函數。開映射定理保證結果仍是一個開集：一個真正二維的團塊，沒有那塊小塊突然塌縮上去的尖邊或被掐住的邊界。非常數解析函數可以拉伸、扭轉、彎折區域，但它絕不能把一個開集壓成一條曲線或單獨一點。進去開、出來也開。

敘述：若 f 在一個區域（連通開集）上解析且非常數，則對每個開子集 U，像 f(U) 是開的。為何如此：在使 f(z_0) = w_0 的點 z_0 附近，函數在局部看起來像 w_0 加上一個冪 (z - z_0)^m 乘以一個不為零的因子（m 是 f - w_0 在 z_0 處零點的階）。在局部取 m 次方根，f 在 z_0 附近的表現就像映射 z 映到 z^m 與一個共形坐標變換的複合——而 z 映到 z^m 是開映射（它把小圓盤映成小圓盤，纏繞 m 次）。故繞 z_0 的小圓盤映成含有繞 w_0 小圓盤的集合，這恰恰就是開性。輻角原理給出定量版本：對接近 w_0 的 w，方程 f(z) = w 在 z_0 附近恰有 m 個解，故接近 w_0 的值真的被取到。

這一條結構性事實幾乎免費地逼出最大模原理。若 |f| 在 z_0 有一個內部極大值，那麼 f(z_0) 會是像 f(U) 的一個邊界點——模最大的值，坐落在像團塊的外緣上。但開映射定理說 f(U) 是開的，故它內部沒有邊界點；因此 f(z_0) 不可能是像的內點，這便產生矛盾，除非 f 是常數。這定理也是解析函數在幾何上如此剛硬的原因。要害的限定就藏在字句裡：f 必須非常數——常數函數把一切映到單獨一點，那不是開的。