局部映射定理（the local mapping theorem）
把鏡頭在一個解析函數的某點附近拉得夠近，它總是看起來像兩個簡單模型映射之一。它要嘛表現得像一個乾淨的拉伸加旋轉、像扇子般展開（當導數不為零時），要嘛表現得像冪映射 z 映到 z^m、把一個鄰域對折到自身 m 次（當導數消失到 m - 1 階時）。局部映射定理說這些就是僅有的局部圖像——每個解析映射放大後，在局部都是一個冪映射。
敘述：設 f 在 z_0 附近解析且 f(z_0) = w_0，令 m 為 f(z) - w_0 在 z_0 處零點的階（故 m 是使 f^(m)(z_0) 不為零的第一個指標；m = 1 恰恰當 f'(z_0) 不為零）。則在 z_0 附近存在一個解析坐標變換 phi，滿足 phi(z_0) = 0 且 phi'(z_0) 不為零，使得 f(z) = w_0 + phi(z)^m。換句話說：對輸入作一次共形改名後，f 恰恰就是 m 次冪映射。其構造是對 (f(z) - w_0) / (首項係數) 取一個 m 次方根，這是合法的，因為該商不為零且在 z_0 處等於 1，故局部存在解析的 m 次方根。因此，對每個接近 w_0（但不等於它）的值 w，方程 f(z) = w 在 z_0 附近恰有 m 個相異的單解——映射在局部是 m 對一。
這是好幾個定理背後的結構核心。當 m = 1 時映射在局部是單射且共形（保持角度），這就是全純反函數定理。當 m 大於 1 時，z_0 是臨界點（f'(z_0) = 0），角度被乘以 m——z_0 處的四分之一圈在像中變成半圈——故共形性恰恰在臨界點失效。開映射定理是其直接推論（冪映射是開的），而計數 m 就是局部度。誠實的一點：「局部」意指在一個夠小的鄰域內；整體上一個解析函數可以是瘋狂地多對一，而那個乾淨的冪映射圖像只在拉近鏡頭後才成立。
在 z_0 = 0 附近，函數 f(z) = z^2 + z^3 = z^2(1 + z) 有 m = 2（因 f(0) = 0、f'(0) = 0、f''(0) 不為 0）。它在局部等於 phi(z)^2，其中 phi(z) = z sqrt(1 + z) 是 0 附近一個真正的解析平方根——故 f 在該處局部 2 對 1。
對輸入作一次共形變換後，每個解析映射在局部都是 w_0 + (冪)^m。
冪映射的標準形純粹是局部的；整體上 f 可以用複雜的方式多對一。共形性（保角）只在 m = 1 處成立，亦即遠離 f' 消失的臨界點之處。