平均值性質（the mean-value property）

站在解析函數的任一內部點上，繞著自己畫一個小圓。平均值性質說，你圓心處的值恰好是圓周上各值的平均。函數在圓心處相對於周圍既不向上鼓起也不向下凹陷；圓心永遠是圓環的完美平均。

用符號表示：若 f 在以 z_0 為心、半徑 r 的圓上及其內部解析，則 f(z_0) = (1 / (2 pi)) 乘以從 0 到 2 pi 的 f(z_0 + r e^(i theta)) dtheta 的積分。這是柯西積分公式特化到圓並改寫的結果：把圍道參數化為 z = z_0 + r e^(i theta)，代入 f(z_0) = (1 / (2 pi i)) 乘以該圓上 f(z) / (z - z_0) dz 的積分，dz 與核相結合使半徑與 i 抵消，只剩下一個純角度平均。圓心值就是邊界值的平均，毫不誇張。

同樣的平均對實部與虛部各自成立，它們都是調和函數，所以調和函數也滿足平均值性質。由這一個事實流出最大與最小原理：若圓心永遠等於平均，它就絕不能嚴格超過周圍的一切，故 |f| 與調和函數不能有嚴格的內部最大值。這個性質也是拉普拉斯方程的解為何會抹平、沒有孤立凸起背後的離散心跳。