高斯平均值定理（Gauss's mean-value theorem）

高斯平均值定理就是冠以高斯之名的平均值性質，通常針對調和函數陳述：調和函數在圓盤圓心處的值等於它在邊界圓上各值的平均。它就是你在解析函數那裡遇到的同一條平均律，如今改以拉普拉斯方程的實值解來表述，這些解支配著穩態熱傳、靜電位勢與理想流體流動。

精確地說：若 u 在以 z_0 為心、半徑 r 的圓盤上及其內部調和（意即在那裡 u_xx + u_yy = 0），則 u(z_0) = (1 / (2 pi)) 乘以從 0 到 2 pi 的 u(z_0 + r e^(i theta)) dtheta 的積分。你可以直接由柯西公式得出它，只需注意圓盤上的調和 u 是某個解析 f 的實部；f 的平均值性質傳遞到它的實部。從物理上說，它表示某點的穩態溫度是繞它任一圓上溫度的平均——平衡時不會自發出現熱點。

高斯的版本是通往調和函數最大原理與帕松積分公式的門戶，後者把單純的圓周平均升級為一個加權平均，還能處理偏離圓心的點。值得記住的是這個等式是精確的、而非近似的：平衡場是完美自我平均的，這正是狄利克雷問題（給定邊界值、求內部場）何以有唯一且抹平的解的原因。