帕松積分公式（Poisson integral formula）

對柯西積分公式而言，解析函數在圓上的邊界值能在內部還原它。帕松積分公式就是這個想法對調和函數的實變數孿生：給定一個調和函數在圓盤邊界圓上的值，公式便把它在每個內部點的值還原為邊界資料的加權平均。它是圓盤上狄利克雷問題的顯式解。

在單位圓盤上，設我們想求調和函數 u，其在單位圓上有給定的連續邊界值 u(e^(i t)) = g(t)。則對內部點 z = r e^(i theta)（0 <= r < 1），帕松公式說 u(r e^(i theta)) = (1 / (2 pi)) 乘以從 0 到 2 pi 的 P_r(theta - t) g(t) dt 的積分，其中 P_r(phi) = (1 - r^2) / (1 - 2 r cos phi + r^2) 是帕松核。把它讀成一種平均：每個邊界值 g(t) 都被 P_r(theta - t) 加權，當 t 接近角 theta（靠近 z）時權重大、當 t 遠時權重小，所以最靠近 z 的邊界點影響最大。權重非負且積分為 2 pi，使公式成為真正的加權平均——這正是最大值原理免費掉出來的原因。當 r -> 0 時核變平，你便還原出平均值性質 u(0) = g 的平均。

這一條公式作用甚廣：它證明圓盤上的狄利克雷問題對連續邊界資料總是可解，它顯示無論 g 多麼粗糙、解在內部都光滑（事實上是實解析的），而且它是藉由共形移植在任何良好有界區域上求解該問題的種子。一點實務警告：公式只在開圓盤內部還原 u；當 z 趨向邊界時，在 g 連續的每一點極限等於 g(t)，但若 g 有跳躍，內部的值會平滑地跨越跳躍取平均，而非重現它。