計數過程 N(t)（counting process）

想像一個閘門計數器，每當有人通過就加一，而你隨著一天過去記錄這個累計總數。在任一時刻 t，計數器上的數字就是 N(t)：從時刻 0 到時刻 t 為止已經發生了多少事件。隨著時間前進，這個計數只會上升、以單位跳躍上升，從不下降——一道階梯，每遇一個事件爬一階，中間則保持水平。

形式上，N(t) 是一個以時間為指標的隨機過程，取值 0, 1, 2, ...。它從 N(0) = 0 開始，是非遞減的，在每個事件處恰好增加 1（跳躍大小為一，無同時），且右連續（在到達的那一瞬間它已經把它數進去了）。計數的天然搭檔是增量 N(t) - N(s)，即兩個時刻 s 與 t 之間（嚴格地）的事件數；對卜瓦松過程，此增量是平均為 lambda*(t - s) 的卜瓦松，且與時刻 s 之前發生的事獨立。計數的觀點與到達間隔的觀點是同一幅圖的兩種讀法：N 的第 n 次跳躍恰好發生在第 n 個到達時刻。

為何要用 N(t) 而不只是列出到達時刻？因為許多問題是關於計數的：「這一季有多少理賠？」「N(t) 是否超過容量？」「E[N(t)] 是多少？」對卜瓦松過程，E[N(t)] = lambda*t，是一條過原點的直線。更一般地說，「任何」到達模型都能用它的計數過程描述，所以 N(t) 是卜瓦松過程、更新過程與生滅過程共通的語言——當你關心隨時間累積的總量而非個別間隔時，它就是你研究的對象。