到達時刻與爾朗（伽瑪）分配（arrival times and the Erlang / gamma distribution）
/ ER-lang /
如果到達間隔時間是間隔，那麼到達時刻就是累計的時鐘讀數：第一個事件的時刻 S1、第二個的 S2，依此類推。它們回答的是「第 n 個事件何時發生？」而非「距上一個多久了？」。由於每個到達都坐落在一連串間隔的末端，第 n 個到達時刻就是前 n 個到達間隔時間的和：Sn = T1 + T2 + ... + Tn。
把 n 個獨立、各為速率 lambda 的指數等待相加，得到一個有名字的分配：形狀為 n、速率為 lambda 的爾朗分配（伽瑪分配在形狀為整數時的特例）。它的平均是 n/lambda、變異數是 n/lambda^2——n 段平均長度 1/lambda 的等待，正如你所期望。其密度為 f(t) = lambda^n * t^(n-1) * e^(-lambda*t) / (n-1)!（t > 0）。它與計數之間還有一座漂亮的橋：「第 n 個到達在時刻 t 之後」與「到時刻 t 為止發生的事件少於 n 個」是同一個事件，即 P(Sn > t) = P(N(t) < n)，這把爾朗直接連到 N(t) 的卜瓦松計數。
每當你等待一個累計數達到某門檻時，就該找這個分配：等到第 5 位顧客、第 10 次放射衰變、第 3 次機器故障的時間。它也解釋了為何指數的和（相對地）比單一指數更「鐘形」、更不分散——根據中央極限的想法，許多小的隨機間隔會被平均掉，所以當 n 大時，到達時刻 Sn 在 n/lambda 附近近似常態。單一指數（n = 1）與爾朗是同一個家族在不同尺度下的樣貌。
顧客按 lambda = 2（每分鐘）為卜瓦松到達。等到第 3 位顧客的時間是形狀 3、速率 2 的爾朗，所以平均是 3/2 = 1.5 分鐘、變異數是 3/4 = 0.75。第 3 位顧客在 t = 1 分鐘前尚未到達的機率等於 P(N(1) < 3) = P(N(1) = 0、1 或 2)，其中 N(1) 是平均 2 的卜瓦松。
把 n 個指數間隔相加便得到爾朗(n, lambda)；P(Sn > t) = P(N(t) < n)。
到達時刻 Sn（n 個間隔的和）是爾朗，「不是」指數——只有單一間隔才是指數。爾朗是限制在整數形狀的伽瑪分配。