機率的連續性（continuity of probability）

機率的連續性說的是：機率尊重事件擴大或縮小的極限。若你有一串不斷膨脹的事件——A1 在 A2 之內、A2 在 A3 之內等等，每一個都包含前一個——那麼它們最終聯集（你逐步逼近的極限）的機率，就是各個機率的極限：P(聯集) = P(An) 的極限。對不斷縮小、逐層嵌套朝向交集收縮的事件，對應的鏡像陳述也成立。簡言之，你可以把極限移進或移出 P 而不受損。

用一口氣說明它為何為真：連續性就是換了件衣服的可數可加性。給定一串膨脹的鏈，把它切成每一步新增的互斥片（A1，然後 A2 減 A1，然後 A3 減 A2，以此類推）。可數可加性把這無限多個互斥的薄片加起來，給出整個聯集的機率，而這個級數的部分和恰好就是節節攀升、趨向答案的 P(An)。所以「機率沿單調序列連續」與「機率可數可加」是同一條公理的兩個面。

連續性是從有限推理通往真正無限問題的橋樑，也是讓你能放心取極限的依據。它使得「你終究會成功的機率，等於你在第 n 次試驗前已成功的機率的極限」這類陳述成立，並支撐著尾事件、博雷爾-坎泰利引理、以及更後面的收斂定理。它默默地承重：沒有它，無限的機率論證就沒有資格去交換極限與機率。