共軛先驗（conjugate prior）

共軛先驗是一種數學上的幸運配對：這樣一個先驗，在你把資料揉進去之後，出來還是同一種形狀——只是數字更新了。這就像有一個儲蓄帳戶，每一筆存款都讓餘額保持同一種貨幣。你永遠不必兌換；更新無非是撥動幾個計數器。

具體來說，如果你對一枚硬幣偏置的先驗信念是一個Beta分布，而你觀察到的是擲硬幣（二項過程），那麼後驗仍是一個Beta分布。更新時，你只需把正面的次數加到一個參數上、反面的次數加到另一個參數上。不必積分，不必取樣——貝氏更新坍縮成了算術。著名的配對包括：Beta與二項、Gamma與卜瓦松、以及高斯先驗配高斯似然。

它為何重要，又止於何處：在快速電腦出現之前，共軛性往往是做貝氏推論的唯一可行之路；而即便到今天，它仍因「精確、即時、易於推理」而備受珍視。但它是一種便利，而非自然律。真實問題很少恰好遞給你一個共軛模型，硬湊一個反而可能扭曲你誠實的信念。當沒有共軛先驗合適時，你就退回到MCMC或變分推論之類的近似方法。把共軛性當作偶然降臨的禮物，而不是非追不可的硬指標。