克萊布希-戈丹係數（Clebsch-Gordan coefficients）
/ KLEBSH-GOR-dahn /
克萊布希-戈丹係數是描述「合成角動量」兩種方式之間的匯率。一旦你決定把兩個角動量相加，就有兩套互相競爭的語彙——一套分別指明各部分的投影，一套指明總量——而你需要不斷翻譯。克萊布希-戈丹係數正是那本字典裡的數字：在某一對個別 (m_1, m_2) 態之中，找到某個合成 (j, m) 態的振幅。
具體地說，它們把耦合態展開在未耦合基底上：|j, m> = sum over m_1, m_2 of <j_1 m_1; j_2 m_2 | j m> 乘上 |j_1 m_1> |j_2 m_2>，其中 <j_1 m_1; j_2 m_2 | j m> 這些數就是克萊布希-戈丹係數。它們只有在 m = m_1 + m_2（投影直接相加）且 j 落在 |j_1 - j_2| 到 j_1 + j_2 的允許範圍內（三角條件）時才不為零。依慣例取為實數，它們構成兩個完備基底之間的正交變換，所以同一張表也能把翻譯反向進行。你可以查表，或用降算符 J_- = J_1- + J_2- 從最高伸展態 |j_1+j_2, j_1+j_2> = |j_1 j_1>|j_2 j_2> 出發生成它們。
凡是量子化角動量被合成後再被探測之處，你就會遇到這些係數。它們決定原子光譜中一個多重態內各譜線的相對強度，並編碼躍遷的選擇定則；它們出現在維格納-埃卡特定理中，該定理把任意張量算符的幾何（一個克萊布希-戈丹係數）與物理（單一約化矩陣元）乾淨地分開；在核物理與粒子物理中，凡需耦合同位旋或自旋處也無所不在。簡言之，它們是「角動量相加」這句抽象陳述背後具體的算術。
對兩個自旋 1/2 粒子，m=0 的態直接示範了這些係數：三重態 |1,0> = (1/sqrt(2))(|上,下> + |下,上>)，單態 |0,0> = (1/sqrt(2))(|上,下> - |下,上>)。那些 1/sqrt(2) 因子就是克萊布希-戈丹係數，而那個相對負號正是使單態在粒子交換下反對稱的關鍵。
混合「上下」與「下上」的 1/sqrt(2) 權重就是克萊布希-戈丹係數；那個正負號區分了三重態與單態。
各教科書的慣例與符號選擇（康登-蕭特利相位慣例）不盡相同，所以合併結果前務必確認某張表用的是哪套慣例。除非 m = m_1 + m_2 與 j 的三角不等式同時成立，否則係數為零——這兩條選擇定則承擔了大部分實務工作。