角動量的合成（addition of angular momentum）

當兩個角動量來源共處同一系統——電子的軌道運動與其自旋，或化學鍵中兩個電子的自旋——你常需要總角動量 J = J_1 + J_2，因為球對稱交互作用守恆的正是這個總量。但量子力學中的角動量相加，不像古典向量相加：由於各部分無法各自指向確定方向，總大小本身也量子化，「合起來的角動量是多少？」這個問題同時有好幾個允許的答案。

把角動量 j_1 與角動量 j_2 合成。總 j 可從 |j_1 - j_2| 一路取到 j_1 + j_2，以整數步進：j = |j_1 - j_2|, |j_1 - j_2| + 1, ..., j_1 + j_2。對每個這樣的 j，投影 m 從 -j 到 +j，而帳目始終平衡：態的總數 sum over j of (2j+1) 等於 (2 j_1 + 1)(2 j_2 + 1)，也就是原本乘積空間的維度。物理上你是在換基底。「未耦合」基底用 (m_1, m_2) 標記態——各部分的投影分別列出；「耦合」基底用 (j, m) 標記——總大小與總投影。兩者描述同一批態；哪個是「好」基底取決於哈密頓量。

基底的選擇並非紙上談兵。當兩個角動量被像自旋-軌道耦合這樣的交互作用（正比於 L dot S）耦合時，耦合基底使其對角化，因為 L dot S = (J^2 - L^2 - S^2)/2 在確定 j 的態中是對角的——這正是產生原子光譜精細結構的機制。把兩個自旋 1/2 的電子相加，得到 j = 0（單一反對稱的「單態」）或 j = 1（對稱的「三重態」，共三個態），這個區別正是化學鍵與磁性背後交換交互作用的根源。