柯西核（Cauchy kernel）

每個柯西積分裡都坐著同一個小裝置：表達式 1 / (z - w)，即柯西核。它是那個加權函數，當你沿迴路把 f 對著它積分時，便在某一點重現 f。理解這個核就是理解整條公式為何成立——它是一個集中的尖峰，恰好在你想要之處對 f 取樣。

具體地說，柯西核是出現在 f(z_0) = (1 / (2 pi i)) 乘以 gamma 上 f(z) / (z - z_0) dz 積分中的 1 / (w - z_0)（或換個寫法，微分形式 dz / (z - z_0)）。它的關鍵特徵簡單卻決定性：它對 z 解析，僅在 z = z_0 處有單一個單極點，而單獨把它沿一條包圍 z_0 的迴路積分恰得 2 pi i（若 z_0 在外則得 0）。那乾淨的「2 pi i 或 0」是卷繞數在記帳，正是它把 z_0 處的值從整個邊界積分中孤立出來。

這個核是整棵推論樹的種子。對 z_0 求 n 次導，你便得到廣義公式的核 1 / (z - z_0)^(n+1)；把它展開為等比級數，你便得到泰勒係數；它那單一個極點正是留數演算得以運轉的原因。在更進階的場景中，同一個核又以柯西轉換與希爾伯特轉換的面貌重現。它在某種意義上是複分析中最重要的單一個分式。