希爾伯特轉換（Hilbert transform）
/ HILL-bairt /
在一個解析函數的邊界上，實部與虛部並不自由——知道其一便決定另一。希爾伯特轉換正是那個明確的操作，它從這種邊界函數的實部產生其虛部（差一個常數）。等價地，它是把一個實信號變成其正交伴侶的操作——同一信號在每個頻率上相移 90 度——這是通訊的家常便飯，在那裡它建構解析信號，讓你讀出瞬時振幅與相位。
在實數線上，函數 u 的希爾伯特轉換由一個主值積分定義：(H u)(x) = (1 / pi) 乘以（對所有 t 的 u(t) / (x - t) dt 的積分）之柯西主值。主值不可或缺，因為核 1 / (x - t) 在 t = x 處爆炸；你在奇點周圍切掉一條對稱的細縫並讓它收縮，兩個無窮的半邊便相消。在頻域中，作用妙不可言地簡單：H 把正頻率分量乘以 -i、把負頻率分量乘以 +i——也就是說，它把每個正弦相移負 90 度。與複分析的深刻連結：若你取實軸上一個實函數 u 並把它調和延拓進上半平面，它的調和共軛（實部為 u 的那個解析函數的虛部）的邊界值恰好是 H u。所以希爾伯特轉換就是「過渡到調和共軛、再看邊界」。
這使希爾伯特轉換成為解析性的邊界面貌，它支撐了光學中的克拉默斯-克勒尼希關係（介質響應的實部與虛部——其折射與吸收——互為希爾伯特轉換，因為響應是因果的，因而是某個在半平面解析之函數的邊界值）。它是通往哈代空間的門戶，而哈代空間恰恰是解析函數之邊界函數的空間。誠實的微妙處：定義積分需要主值才能存在；H 不是局部的——在某點附近改動 u 會處處改變 H u；而 H 平方等於負的恆等（套用兩次再取負便還原原物），所以它是一種 90 度旋轉，而非取平均。
對 omega > 0，cos(omega x) 的希爾伯特轉換是 sin(omega x)，sin(omega x) 的則是 -cos(omega x)——每個正弦只是相移負 90 度。把一個信號 u 與其轉換 H u 配成 u + i (H u) 便建構出解析信號，其模是瞬時振幅（包絡線）、其輻角以瞬時頻率增長。
H 把每個頻率相移負 90 度；u + i(H u) 即解析信號。
常數的希爾伯特轉換是零，這正是為何從邊界上的實部還原一個解析函數時，只能確定到差一個可加的虛常數——這與從調和共軛還原函數的不確定性完全相同。